Sejam X, Y variáveis aleatórias com função densidade conjunta dada por
f(x, y)=x e^-(x+y), x>0, y>0
e T,S variáveis aleatórias com densidade conjunta dada por
f(t, s)=43 t e^-(t+s), t>0,0
a) As variáveis X, Y são independentes?
b) E as variáveis S, T ?

Passo 1

Temos duas questões de independência de variáveis contínuas. O assunto aqui é verificar se a densidade conjunta f(x,y) se fatoriza no produto das marginais. Para isso, vamos precisar calcular as densidades marginais por integração e comparar com a densidade conjunta.

Passo 2

Independência de X e Y: primeiro encontramos as marginais de X e de Y a partir de f(x,y)=x e^{-(x+y)}, x>0, y>0. A definição de variável contínua independente diz que f(x,y)=f_X(x),f_Y(y) para todo x,y.
Calculando f_X(x):
fX(x)=integral0^inftyx,e^-(x+y),dy = x e^-xintegral0^inftye^-ydy = x e^-x times 1 = x e^-x, x>0
Calculando f_Y(y):
fY(y)=integral0^inftyx,e^-(x+y),dx = e^-yintegral0^inftyx e^-xdx = e^-ytimes 1! = e^-y, y>0
Verificando o produto das marginais:
fX(x),fY(y) = (x e^-x),(e^-y) = x e^-(x+y) = f(x,y)
Como a densidade conjunta se iguala exatamente ao produto das marginais em todo o domínio, concluímos que X e Y são independentes.

Passo 3

Independência de T e S: agora usamos f_{T,S}(t,s)=\tfrac{4}{3} t e^{-(t+s)},;t>0,;0<s<t. Precisamos de f_T(t) e f_S(s).
Calculando f_T(t):
fT(t)=integral0^t43t e^-(t+s),ds = 43t e^-t integral0^te^-sds = 43t e^-tl(1 - e^-tr), t>0
Calculando f_S(s):
fS(s)=integralt=s^infty43t e^-(t+s),dt = 43e^-sintegrals^inftyt e^-tdt = 43e^-s,(s+1)e^-s = 43(s+1)e^-2s, s>0
Testando se f_T(t)f_S(s)=f_{T,S}(t,s):
fT(t),fS(s) = 43t e^-tl(1 - e^-tr) times 43(s+1)e^-2s
que não coincide com
fT,S(t,s)=43t e^-(t+s)
Além disso, o suporte de (T,S) não é retangular (exige 0<s<t), o que já indica dependência. Portanto, S e T não são independentes.

Resposta

a) Sim, X e Y são independentes. b) Não, S e T não são independentes.

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