Sejam
variáveis aleatórias com função densidade conjunta dada por
e T,S variáveis aleatórias com densidade conjunta dada por
a) As variáveis
são independentes?
b) E as variáveis
?
b) E as variáveis
Passo 1
Temos duas questões de independência de variáveis contínuas. O assunto aqui é verificar se a densidade conjunta f(x,y) se fatoriza no produto das marginais. Para isso, vamos precisar calcular as densidades marginais por integração e comparar com a densidade conjunta.
Passo 2
Independência de X e Y: primeiro encontramos as marginais de X e de Y a partir de f(x,y)=x e^{-(x+y)}, x>0, y>0. A definição de variável contínua independente diz que f(x,y)=f_X(x),f_Y(y) para todo x,y.
Calculando f_X(x):
Calculando f_X(x):
Calculando f_Y(y):
Verificando o produto das marginais:
Como a densidade conjunta se iguala exatamente ao produto das marginais em todo o domínio, concluímos que X e Y são independentes.
Passo 3
Independência de T e S: agora usamos f_{T,S}(t,s)=\tfrac{4}{3} t e^{-(t+s)},;t>0,;0<s<t. Precisamos de f_T(t) e f_S(s).
Calculando f_T(t):
Calculando f_T(t):
Calculando f_S(s):
Testando se f_T(t)f_S(s)=f_{T,S}(t,s):
que não coincide com
Além disso, o suporte de (T,S) não é retangular (exige 0<s<t), o que já indica dependência. Portanto, S e T não são independentes.
Resposta
a) Sim, X e Y são independentes. b) Não, S e T não são independentes.