Da definição de vetor nulo resulta que M N=0 Leftrightarrow M=N. Com isso, prove que:
a) A M=A N Leftrightarrow M=N
b) M A=N A Leftrightarrow M=N
c) Interprete geométricamente estes resultados.

Passo 1

O enunciado parte da propriedade fundamental do vetor nulo:
MN=0Leftrightarrow M=N.
Aqui o conteúdo é manipular vetores usando a relação de Chasles e a unicidade do vetor nulo para mostrar que se dois vetores “saindo” de ou “chegando” a um mesmo ponto são iguais, então seus outros extremos coincidem.

Passo 2

Prova de (a):
Queremos mostrar
AM=ANiff M=N
Começamos escrevendo a relação de Chasles em Ato Mto N:
AM+MN=AN Longrightarrow MN=AN-AM
Logo
AM=AN iff AN-AM=0 iff MN=0 iff M=N

Passo 3

Prova de (b):
Agora queremos
MA=NAiff M=N
Usamos Chasles em Mto Ato N:
MA+AN=MN Longrightarrow MA-NA = l(MA+ANr)-l(NA+ANr) =MN-0 =MN
Mas também note que
MA-NA=0iffMN=0.
Portanto
MA=NA iff MA-NA=0 iff MN=0 iff M=N

Passo 4

Interpretação geométrica (c):
– No item (a), dizemos que se dois vetores com mesma origem A têm igual direção e comprimento, então seus extremos M e N coincidem. Geometricamente, não há como desenhar dois segmentos partindo de A com mesma flecha que terminem em pontos distintos.
– No item (b), a ideia é análoga: se dois vetores que chegam a A (mesmo destino) são iguais, seus pontos de partida M e N devem ser o mesmo. Em outras palavras, não existem dois segmentos de mesma flecha que desembocam em A vindos de pontos diferentes.

Resposta

a) Provado que AM=ANLeftrightarrow M=N.
b) Provado que MA=NALeftrightarrow M=N.
c) Geometricamente, vetores iguais com mesma origem (ou mesmo extremidade) só podem terminar (ou começar) no mesmo ponto.

Exercícios relacionados