De acordo com a Divisão de Estatística Vital do Departamento de Saúde dos Estados Unidos, a média anual de afogamentos acidentais nesse país é de 3 por 100000 indivíduos. Determinar a probabilidade de que em uma cidade com 300000 habitantes se verifiquem:
a) Nenhum afogamento.
b) No máximo 2 afogamentos.
c) Mais e 4 e menos de 8 afogamentos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a probabilidade de afogamentos acidentais em uma cidade de 300.000 habitantes, sabendo que, nos Estados Unidos, a média anual é de 3 por 100.000 pessoas. Vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular probabilidades de eventos raros acontecendo em um determinado intervalo. Para isso, precisamos saber a média de ocorrências (λ) na nossa cidade.

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar a média para a população da nossa cidade. Se a média é de 3 afogamentos por 100.000 pessoas, numa cidade de 300.000 habitantes a média (λ) será:
λ = 3 times 300.000100.000 = 9
Então, λ = 9.

Passo 3

A Distribuição de Poisson usa a fórmula:
P(k; λ) = λ^k e^-λk!
onde:
  • $ P(k; λ) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos,
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (~2,71828),
  • $ k! $ é o fatorial de k.

Passo 4

Vamos resolver a parte a): Nenhum afogamento, ou seja, $ k = 0 $.
k = 0
Então, a probabilidade de nenhum afogamento é aproximadamente 0,0123%.

Passo 5

Agora, a parte b): No máximo 2 afogamentos, ou seja, $ k \leq 2 $. Precisamos somar as probabilidades de 0, 1 e 2 afogamentos.
k <= 2
Calculando cada termo:
P(<= 2; 9) = P(0;9) + P(1;9) + P(2;9)
P(1;9) = 9^1 e^-91! = 9e^-9 approx 0,00111
Somando:
P(2;9) = 9^2 e^-92! = 81 e^-92 approx 0,00499
Então, a probabilidade de no máximo 2 afogamentos é aproximadamente 0,623%.

Passo 6

Por fim, a parte c): Mais de 4 e menos de 8 afogamentos, ou seja, $ 5 \leq k \leq 7 $. Vamos calcular as probabilidades para k = 5, 6 e 7 e somar.
5 <= k <= 7
P(5;9) = 9^5 e^-95! approx 0,1251
P(6;9) = 9^6 e^-96! approx 0,1877
Somando:
P(7;9) = 9^7 e^-97! approx 0,2410
Então, a probabilidade de haver mais de 4 e menos de 8 afogamentos é aproximadamente 55,38%.

Resposta

a) A probabilidade de nenhum afogamento é cerca de 0,0123%.
b) A probabilidade de no máximo 2 afogamentos é aproximadamente 0,623%.
c) A probabilidade de ocorrer entre mais de 4 e menos de 8 afogamentos é de aproximadamente 55,38%.

Exercícios relacionados