De acordo com a Divisão de Estatística Vital do Departamento de Saúde dos Estados Unidos, a média anual de afogamentos acidentais nesse país é de 3 por 100000 indivíduos. Determinar a probabilidade de que em uma cidade com 300000 habitantes se verifiquem:
a) Nenhum afogamento.
b) No máximo 2 afogamentos.
c) Mais e 4 e menos de 8 afogamentos.
a) Nenhum afogamento.
b) No máximo 2 afogamentos.
c) Mais e 4 e menos de 8 afogamentos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a probabilidade de afogamentos acidentais em uma cidade de 300.000 habitantes, sabendo que, nos Estados Unidos, a média anual é de 3 por 100.000 pessoas. Vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular probabilidades de eventos raros acontecendo em um determinado intervalo. Para isso, precisamos saber a média de ocorrências (λ) na nossa cidade.
Passo 2
Primeiro, vamos ajustar a média para a população da nossa cidade. Se a média é de 3 afogamentos por 100.000 pessoas, numa cidade de 300.000 habitantes a média (λ) será:
Então, λ = 9.
Passo 3
A Distribuição de Poisson usa a fórmula:
onde:
- $ P(k; λ) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos,
- $ e $ é a base do logaritmo natural (~2,71828),
- $ k! $ é o fatorial de k.
Passo 4
Vamos resolver a parte a): Nenhum afogamento, ou seja, $ k = 0 $.
Então, a probabilidade de nenhum afogamento é aproximadamente 0,0123%.
Passo 5
Agora, a parte b): No máximo 2 afogamentos, ou seja, $ k \leq 2 $. Precisamos somar as probabilidades de 0, 1 e 2 afogamentos.
Calculando cada termo:
Somando:
Então, a probabilidade de no máximo 2 afogamentos é aproximadamente 0,623%.
Passo 6
Por fim, a parte c): Mais de 4 e menos de 8 afogamentos, ou seja, $ 5 \leq k \leq 7 $. Vamos calcular as probabilidades para k = 5, 6 e 7 e somar.
Somando:
Então, a probabilidade de haver mais de 4 e menos de 8 afogamentos é aproximadamente 55,38%.
Resposta
a) A probabilidade de nenhum afogamento é cerca de 0,0123%.
b) A probabilidade de no máximo 2 afogamentos é aproximadamente 0,623%.
c) A probabilidade de ocorrer entre mais de 4 e menos de 8 afogamentos é de aproximadamente 55,38%.