Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, obtiveram-se as seguintes medidas para os diâmetros (segue distribuição Normal): 10, 11,
,
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Construir um intervalo de confiança para a variância sendo
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Construir um intervalo de confiança para a variância sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma fábrica que coletou várias medidas de diâmetros de uma peça, e essas medidas seguem uma distribuição normal. O que a gente precisa fazer aqui é construir um intervalo de confiança para a variância dessa distribuição com 99% de confiança. Para isso, vamos usar a distribuição qui-quadrado, que é justamente o que precisamos quando estamos tratando de variância em dados normais.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar todas as medidas que a gente tem:
10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16.
10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16.
Vamos contar quantas medidas temos no total para determinar o tamanho da nossa amostra. Contando rapidinho, temos 30 medidas.
Passo 3
Agora, vamos calcular a média (
) dessas medidas. Somamos todas as medidas e dividimos pelo número de medidas.
Somando tudo, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância amostral (
). A fórmula para a variância amostral é:
Onde:
-
são as medidas individuais -
é a média -
é o número de medidas
Vamos calcular cada diferença ao quadrado, somar tudo e depois dividir por
.
Vamos calcular rapidamente:
Então,
Passo 5
Para construir o intervalo de confiança para a variância, vamos usar a distribuição qui-quadrado (
), que é apropriada para variância em distribuições normais. A fórmula para o intervalo de confiança é:
Onde:
-
é o tamanho da amostra -
é a variância amostral -
e são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para $ \alpha $
Como queremos um nível de confiança de 99%, $ \alpha = 1 - 0,99 = 0,01 $. Assim, $ \alpha/2 = 0,005 $.
Passo 6
Vamos encontrar os valores críticos da distribuição qui-quadrado para $ \alpha/2 = 0,005 $ e $ 1 - \alpha/2 = 0,995 $ com $ df = n - 1 = 29 $ graus de liberdade.
Consultando a tabela qui-quadrado ou usando uma calculadora:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a fórmula do intervalo de confiança:
Calculando cada parte:
Resposta
Portanto, o intervalo de confiança para a variância com 99% de confiança é aproximadamente $ (5,08, 21,21) $.