Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, obtiveram-se as seguintes medidas para os diâmetros (segue distribuição Normal): 10, 11, 11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,14,14, 14,14,14,15,15,15,16,16.
Construir um intervalo de confiança para a variância sendo gamma=99 %.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma fábrica que coletou várias medidas de diâmetros de uma peça, e essas medidas seguem uma distribuição normal. O que a gente precisa fazer aqui é construir um intervalo de confiança para a variância dessa distribuição com 99% de confiança. Para isso, vamos usar a distribuição qui-quadrado, que é justamente o que precisamos quando estamos tratando de variância em dados normais.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar todas as medidas que a gente tem:
10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16.
Vamos contar quantas medidas temos no total para determinar o tamanho da nossa amostra. Contando rapidinho, temos 30 medidas.

Passo 3

Agora, vamos calcular a média ( barx) dessas medidas. Somamos todas as medidas e dividimos pelo número de medidas.
barx = 10 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 12 + 12 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 14 + 14 + 14 + 14 + 14 + 15 + 15 + 15 + 16 + 1630
Somando tudo, temos:
barx = 10 + (11 times 3) + (12 times 4) + (13 times 13) + (14 times 5) + (15 times 3) + (16 times 2)30 = 10 + 33 + 48 + 169 + 70 + 45 + 3230 = 40730 approx 13,57

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância amostral ( s^2). A fórmula para a variância amostral é:
s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1
Onde:
  • xi são as medidas individuais
  • barx é a média
  • n é o número de medidas
Vamos calcular cada diferença ao quadrado, somar tudo e depois dividir por n - 1 = 29.
Vamos calcular rapidamente:
sum (xi - 13,57)^2 approx 10,857 + 6,613 + ldots + 5,947 = 263,43
Então,
s^2 = 263,4329 approx 9,08

Passo 5

Para construir o intervalo de confiança para a variância, vamos usar a distribuição qui-quadrado ( chi^2), que é apropriada para variância em distribuições normais. A fórmula para o intervalo de confiança é:
( (n - 1)s^2chi^2alpha/2, (n - 1)s^2chi^21 - alpha/2 )
Onde:
  • n é o tamanho da amostra
  • s^2 é a variância amostral
  • chi^2alpha/2 e chi^21 - alpha/2 são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para $ \alpha $
Como queremos um nível de confiança de 99%, $ \alpha = 1 - 0,99 = 0,01 $. Assim, $ \alpha/2 = 0,005 $.

Passo 6

Vamos encontrar os valores críticos da distribuição qui-quadrado para $ \alpha/2 = 0,005 $ e $ 1 - \alpha/2 = 0,995 $ com $ df = n - 1 = 29 $ graus de liberdade.
Consultando a tabela qui-quadrado ou usando uma calculadora:
alpha/2 = 0,005
1 - alpha/2 = 0,995

Passo 7

Agora, vamos aplicar a fórmula do intervalo de confiança:
( 29 times 9,0851,805, 29 times 9,0812,401 )
Calculando cada parte:
29 times 9,0851,805 approx 263,3251,805 approx 5,08
29 times 9,0812,401 approx 263,3212,401 approx 21,21

Resposta

Portanto, o intervalo de confiança para a variância com 99% de confiança é aproximadamente $ (5,08, 21,21) $.

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