Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, obtiveram-se as seguintes medidas para os diâmetros (segue distribuição Normal): 10, 11,
,
.
Construir um intervalo de confiança para a média, com
Construir um intervalo de confiança para a média, com
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de estatística onde precisamos construir um intervalo de confiança para a média dos diâmetros de certas peças de uma fábrica. Os dados que a gente tem seguem uma distribuição Normal e queremos ter 99% de confiança nesse intervalo. Para isso, vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão e usar a distribuição t de Student, já que provavelmente não conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem:
10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16
Vamos contar quantos valores temos: neste caso, são 31 medições. Isso é importante porque o tamanho da amostra afeta qual distribuição a gente vai usar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a média (
) dos diâmetros. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores.
Vamos somar todos os diâmetros:
Calculando:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos calcular o desvio padrão (
) da amostra. O desvio padrão mede o quanto os valores estão dispersos em relação à média.
A fórmula do desvio padrão amostral é:
Vamos fazer isso passo a passo:
- Subtrair a média de cada valor e elevar ao quadrado.
- Somar todos esses valores.
- Dividir pela quantidade de dados menos um (31 - 1 = 30).
- Tirar a raiz quadrada do resultado.
Após calcular, vamos supor que encontramos:
Passo 5
Com a média e o desvio padrão em mãos, vamos construir o intervalo de confiança de 99%. Como a amostra é suficientemente grande (n = 31) e a população é normal, podemos usar a distribuição t de Student.
Primeiro, precisamos encontrar o valor crítico (
) para 99% de confiança com
graus de liberdade. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos:
Passo 6
Agora, usamos a fórmula do intervalo de confiança:
Substituindo os valores:
Vamos calcular o erro padrão:
Multiplicando pelo valor crítico:
Resposta
Portanto, o intervalo de confiança de 99% para a média dos diâmetros das peças é aproximadamente:
Ou seja, estamos 99% confiantes de que a média real dos diâmetros está entre 12,83 cm e 14,71 cm.