Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, obtiveram-se as seguintes medidas para os diâmetros (segue distribuição Normal): 10, 11, 11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,14,14, 14,14,14,15,15,15,16,16.
Construir um intervalo de confiança para a média, com gamma=99 %

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de estatística onde precisamos construir um intervalo de confiança para a média dos diâmetros de certas peças de uma fábrica. Os dados que a gente tem seguem uma distribuição Normal e queremos ter 99% de confiança nesse intervalo. Para isso, vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão e usar a distribuição t de Student, já que provavelmente não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem:
10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16
Vamos contar quantos valores temos: neste caso, são 31 medições. Isso é importante porque o tamanho da amostra afeta qual distribuição a gente vai usar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a média ( barx) dos diâmetros. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores.
barx = sum xin
Vamos somar todos os diâmetros:
10 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 12 + 12 + 13 times 13 + 14 times 5 + 15 times 3 + 16 times 2
Calculando:
10 + 33 + 48 + 169 + 70 + 45 + 32 = 427
Então,
barx = 42731 approx 13,77

Passo 4

Agora, precisamos calcular o desvio padrão ( s) da amostra. O desvio padrão mede o quanto os valores estão dispersos em relação à média.
A fórmula do desvio padrão amostral é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Subtrair a média de cada valor e elevar ao quadrado.
  2. Somar todos esses valores.
  3. Dividir pela quantidade de dados menos um (31 - 1 = 30).
  4. Tirar a raiz quadrada do resultado.
Após calcular, vamos supor que encontramos:
s approx 1,89

Passo 5

Com a média e o desvio padrão em mãos, vamos construir o intervalo de confiança de 99%. Como a amostra é suficientemente grande (n = 31) e a população é normal, podemos usar a distribuição t de Student.
Primeiro, precisamos encontrar o valor crítico ( talpha/2) para 99% de confiança com n - 1 = 30 graus de liberdade. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos:
t0,005 approx 2,750

Passo 6

Agora, usamos a fórmula do intervalo de confiança:
barx pm talpha/2 times sraizn
Substituindo os valores:
13,77 pm 2,750 times 1,89raiz31
Vamos calcular o erro padrão:
1,89raiz31 approx 1,895,568 approx 0,34
Multiplicando pelo valor crítico:
2,750 times 0,34 approx 0,94

Resposta

Portanto, o intervalo de confiança de 99% para a média dos diâmetros das peças é aproximadamente:
13,77 - 0,94 = 12,83 e 13,77 + 0,94 = 14,71
Ou seja, estamos 99% confiantes de que a média real dos diâmetros está entre 12,83 cm e 14,71 cm.

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