Um gerente de luz de uma empresa, quer estimar a fatura mensal média de luz eléctrica do mês de Julho em casas unifamiliares de determinada cidade. Com base nos estudos feitos em outras cidades, supõe-se um desvio padrão de R.$20. O gerente queria estimar a faturação média de Julho com uma aproximação de
da verdadeira média com
de confiança. De que tamanho deveria ser a amostra?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Um gerente quer descobrir, com bastante confiança, quanto, em média, uma casa gasta de luz no mês de julho. Ele já sabe que o desvio padrão desse gasto é de R$20 com base em outras cidades. Ele quer que a estimativa da média tenha uma margem de erro de R$5 e quer estar 99% confiante de que essa estimativa está correta. Para isso, precisamos descobrir quantas casas ele precisa pesquisar, ou seja, qual o tamanho da amostra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual fórmula usamos para calcular o tamanho da amostra quando queremos estimar uma média com uma determinada confiança e margem de erro. A fórmula é:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
- $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
- $ \sigma $ é o desvio padrão da população (que já sabemos ser R$20).
- $ E $ é a margem de erro que queremos (R$5 nesse caso).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de $ Z $ que corresponde a um nível de confiança de 99%. O valor de $ Z $ é encontrado em tabelas da distribuição normal ou usando uma calculadora estatística. Para 99% de confiança, o valor de $ Z $ é aproximadamente 2,576.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Primeiro, fazemos a multiplicação no numerador:
Então, dividimos por $ E $:
Passo 5
Agora, elevamos esse resultado ao quadrado para achar $ n $:
Passo 6
Como não podemos ter uma fração de pessoa na amostra, arredondamos para cima:
Resposta
O gerente deve selecionar uma amostra de 107 casas para estimar a fatura média de luz em julho com uma margem de erro de R$5 e 99% de confiança.