De acordo com a função determine o intervalo das raízes e faça três interações para a maior raiz pelo método da bisseção:
Passo 1
Enunciado (do jeito que veio): Determine o intervalo das raízes e faça três iterações para a maior raiz pelo método da bisseção da função
O que o problema pede:
- Encontrar os intervalos (ou intervalo) onde existem raízes reais de
, isto é, valores de com . - Aplicar o método da bisseção por três iterações para aproximar a maior raiz (se houver).
Informações dadas:
- A função é
. - Implicitamente temos o domínio da função ligado ao logaritmo:
, ou seja .
Não vou resolver nada ainda — só organizei o pedido e os dados (como você pediu).
Passo 2
Análise do domínio e comportamento nas extremidades (passo preparatório importante).
- Domínio: como há
, precisamos de . Então o domínio é . - Vamos investigar os valores de
em pontos importantes: - Em
: Portanto - Comportamento quando
: e , logo . - Comportamento quando
: seja . Então Como e , segue quando . Assim quando .
- Em
- Conclusão provisória: nos extremos do domínio a função tende a
, e em vale . Para haver raízes reais (pontos onde ) seria preciso que a função assumisse sinais opostos em algum intervalo do domínio (um valor negativo e um positivo) para ter pelo Teorema do Valor Intermediário uma raiz.
Passo 3
Estudo detalhado de
para entender se
pode ser
(isto é, se
tem solução).
- Definimos
. Então . - Vamos analisar
com derivadas (passo a passo pedagógico): - Derivada (regra do produto): para
, Aqui expliquei cada termo: o primeiro é derivada de vezes ; o segundo é vezes derivada de , que é . - Para estudar o sinal de
é conveniente mudar de variável . Então porque .
Definapara . Agora calcule : Assim é estritamente crescente em . - Avaliação em
(que corresponde a ): . Como é crescente: - Para
(ou seja ) temos ⇒ . - Para
(ou seja ) temos ⇒ .
- Para
- Portanto
muda de negativo para positivo em . Logo é um ponto crítico e é um ponto de mínimo global de no domínio . - Valor mínimo:
. Conclusão: para todo , com mínima igual a atingida em .
- Derivada (regra do produto): para
Passo 4
Conclusão sobre as raízes de
a partir do estudo de
.
- Como
e para todo , segue que - Em particular,
para todo . - Portanto a equação
não tem solução real: não existem raízes reais de .
Passo 5
Implicação prática para o método da bisseção e explicação didática do método.
- O método da bisseção exige, como condição inicial, um intervalo
no qual a função seja contínua (aqui é contínua em ) e que (isto é, a função tenha sinais opostos nas extremidades). Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, pelo menos uma raiz em . - No nosso caso vimos que
para todo . Logo NÃO existe nenhum par com tal que . Assim não há intervalo adequado para iniciar a bisseção. - Consequência direta: não é possível executar três iterações (nem uma) do método da bisseção para aproximar a “maior raiz”, pois não existe nenhuma raiz real.
- Para ser didático, resumo rápido de como seriam as três iterações se tivéssemos um intervalo
com : - Calcular o ponto médio
. Se pare; caso contrário escolha o subintervalo ou onde o produto dos sinais for negativo e repita. - Repetir para
como o meio do novo intervalo escolhido. - Fazer a terceira iteração gerando
. Cada iteração reduz o comprimento do intervalo pela metade e aproxima a raiz.
- Calcular o ponto médio
- Mas reforçando: isto é só a receita — no nosso problema concreto não há como aplicá-la porque não existe intervalo com sinais opostos.
Resposta
Não existem raízes reais;
para todo
. Portanto não é possível aplicar o método da bisseção (não existe intervalo
com
).