De acordo com a função determine o intervalo das raízes e faça três interações para a maior raiz pelo método da bisseção:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar em quais intervalos estão as raízes da função
; (2) aplicar o método da bisseção por três interações para aproximar a maior raiz.
Informações dadas: a função é . Não foi dado intervalo inicial, então precisamos localizar intervalos com troca de sinal para encontrar todas as raízes reais e, em seguida, usar o intervalo que contém a maior raiz para aplicar a bisseção.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Como polinômios são funções contínuas em todo
, podemos usar a ideia: se
e
têm sinais opostos (
), então existe pelo menos uma raiz em
. Vou avaliar
em vários pontos inteiros para detectar trocas de sinal e assim localizar intervalos que contenham as raízes.
Passo 3
Calculo valores de
em pontos escolhidos:
Aqui
e
, logo há uma raiz em
.
Continuo:
Aqui
e
, logo há uma raiz em
.
E para o intervalo maior:
Aqui
e
, logo há uma raiz em
.
Concluímos que a função tem três raízes reais, cada uma em:
,
e
. A maior raiz está em
.
Passo 4
Agora explico o método da bisseção de forma prática e simples: dado um intervalo
com
,
- calcule o ponto médio
; - avalie
; - se
a raiz está em ; se a raiz está em .
Cada iteração reduz o comprimento do intervalo pela metade. Vou usar o intervalo inicial(o que contém a maior raiz) e fazer três interações.
Passo 5
Intervalo inicial:
.
Calcule o ponto médio:
Calcule o ponto médio:
Já tínhamos
e
. Agora:
Portanto
e
, há troca de sinal em
. Novo intervalo após 1ª iteração:
.
Passo 6
Intervalo atual:
.
Ponto médio:
Ponto médio:
Avalio
:
Logo
e
, troca de sinal em
. Novo intervalo após 2ª iteração:
.
Passo 7
Intervalo atual:
.
Ponto médio:
Ponto médio:
Avalio
:
Aqui
e
, portanto a troca de sinal está em
. Novo intervalo após 3ª iteração:
.
Além disso, o comprimento do novo intervalo é
. Uma aproximação natural da raiz é o ponto médio desse intervalo:
O erro máximo garantido pela bisseção após 3 iterações é
para o comprimento do intervalo, e a meia-ampitude (erro na aproximação por
) é no máximo
.
Resposta
Intervalos das raízes:
,
,
.
Após 3 iterações (maior raiz): intervalo final ; aproximação pelo centro do intervalo
(erro máximo
).
Após 3 iterações (maior raiz): intervalo final