De acordo com a função determine o intervalo das raízes e faça três interações para a maior raiz pelo método da bisseção:
f(x)=x^{3}-12 x+5

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar em quais intervalos estão as raízes da função f(x)=x^{3}-12x+5; (2) aplicar o método da bisseção por três interações para aproximar a maior raiz.
Informações dadas: a função é f(x)=x^{3}-12x+5. Não foi dado intervalo inicial, então precisamos localizar intervalos com troca de sinal para encontrar todas as raízes reais e, em seguida, usar o intervalo que contém a maior raiz para aplicar a bisseção.

Passo 2

Como polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}, podemos usar a ideia: se f(a) e f(b) têm sinais opostos ( f(a)\cdot f(b)<0), então existe pelo menos uma raiz em (a,b). Vou avaliar f em vários pontos inteiros para detectar trocas de sinal e assim localizar intervalos que contenham as raízes.

Passo 3

Calculo valores de f em pontos escolhidos:
f(-4)=(-4)^3-12(-4)+5=-64+48+5=-11.
f(-3)=(-3)^3-12(-3)+5=-27+36+5=14.
Aqui f(-4)=-11<0 e f(-3)=14>0, logo há uma raiz em (-4,-3).
Continuo:
f(0)=0^3-12\cdot0+5=5>0.
f(1)=1^3-12\cdot1+5=1-12+5=-6<0.
Aqui f(0)>0 e f(1)<0, logo há uma raiz em (0,1).
E para o intervalo maior:
f(3)=3^3-12\cdot3+5=27-36+5=-4<0.
f(4)=4^3-12\cdot4+5=64-48+5=21>0.
Aqui f(3)<0 e f(4)>0, logo há uma raiz em (3,4).
Concluímos que a função tem três raízes reais, cada uma em:
(-4,-3), (0,1) e (3,4). A maior raiz está em (3,4).

Passo 4

Agora explico o método da bisseção de forma prática e simples: dado um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0,
  • calcule o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2};
  • avalie f(m);
  • se f(a)\cdot f(m)<0 a raiz está em [a,m]; se f(m)\cdot f(b)<0 a raiz está em [m,b].
    Cada iteração reduz o comprimento do intervalo pela metade. Vou usar o intervalo inicial [3,4] (o que contém a maior raiz) e fazer três interações.

Passo 5

Intervalo inicial: [a_0,b_0]=[3,4].
Calcule o ponto médio:
m_1=\dfrac{3+4}{2}=3{,}5.
Já tínhamos f(3)=-4 e f(4)=21. Agora:
f(3{,}5)=(3{,}5)^3-12(3{,}5)+5=42{,}875-42+5=5{,}875.
Portanto f(3)=-4<0 e f(3{,}5)=5{,}875>0, há troca de sinal em [3,3{,}5]. Novo intervalo após 1ª iteração:
[a_1,b_1]=[3,3{,}5].

Passo 6

Intervalo atual: [3,3{,}5].
Ponto médio:
m_2=\dfrac{3+3{,}5}{2}=3{,}25.
Avalio f(3{,}25):
(3{,}25)^3=34{,}328125,
f(3{,}25)=34{,}328125-12\cdot3{,}25+5=34{,}328125-39+5=0{,}328125.
Logo f(3)=-4<0 e f(3{,}25)=0{,}328125>0, troca de sinal em [3,3{,}25]. Novo intervalo após 2ª iteração:
[a_2,b_2]=[3,3{,}25].

Passo 7

Intervalo atual: [3,3{,}25].
Ponto médio:
m_3=\dfrac{3+3{,}25}{2}=3{,}125.
Avalio f(3{,}125):
(3{,}125)^3=30{,}517578125,
f(3{,}125)=30{,}517578125-12\cdot3{,}125+5=30{,}517578125-37{,}5+5=-1{,}982421875.
Aqui f(3{,}125)=-1{,}982421875<0 e f(3{,}25)=0{,}328125>0, portanto a troca de sinal está em [3{,}125,\,3{,}25]. Novo intervalo após 3ª iteração:
[a_3,b_3]=[3{,}125,\,3{,}25].
Além disso, o comprimento do novo intervalo é b_3-a_3=0{,}125. Uma aproximação natural da raiz é o ponto médio desse intervalo:
\tilde{x}=\dfrac{3{,}125+3{,}25}{2}=3{,}1875.
O erro máximo garantido pela bisseção após 3 iterações é \dfrac{b_0-a_0}{2^{3+1}}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}=0{,}125 para o comprimento do intervalo, e a meia-ampitude (erro na aproximação por \tilde{x}) é no máximo 0{,}0625.

Resposta

Intervalos das raízes: (-4,-3), (0,1), (3,4).
Após 3 iterações (maior raiz): intervalo final [3{,}125,\,3{,}25]; aproximação pelo centro do intervalo \tilde{x}=3{,}1875 (erro máximo \le 0{,}0625).

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