De acordo com a função determine o intervalo das raízes e faça três interações para a maior raiz pelo método da bisseção:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede duas coisas:
- Determinar o intervalo onde estão as raízes da função (ou seja, localizar intervalos em que cada raiz se encontra).
- Fazer três iterações do método da bisseção para aproximar a maior raiz.
Informações relevantes dadas diretamente pelo enunciado:
Passo 2
Vamos primeiro encontrar as raízes exatas da função (isso ajuda a saber onde procurá‑las e serve de verificação). As raízes são as soluções da equação
Multiplicando por
(para deixar o coeficiente de
positivo) obtemos
Aqui devo usar a fórmula quadrática. Uma pequena aula sobre a fórmula quadrática:
- Para uma equação quadrática genérica
, as soluções são dadas por
- Neste caso
, (note o sinal depois de multiplicar por o termo linear ficou na forma padrão) e .
Aplicando a fórmula:
Simplificando
, obtemos
Portanto as duas raízes exatas são
e
.
Passo 3
Vamos obter aproximações numéricas para essas raízes (úteis pra escolher intervalos com números inteiros e para conferir a bisseção). Uma pequena nota sobre aproximação:
(usar algumas casas decimais já é suficiente em provas sem calculadora para estimativas).
Então:
Então:
Agora, para determinar intervalos com números inteiros que contenham cada raiz, avalio
em pontos inteiros próximos e procuro mudança de sinal (teorema do valor intermediário: se
e
tiverem sinais opostos e
for contínua, existe uma raiz em
).
Calculemos:
Como
e
, há mudança de sinal em
, logo a raiz menor (aprox.
) está em
.
Para a maior raiz:
Como
e
, há mudança de sinal em
, logo a raiz maior (aprox.
) está em
.
Resumo até aqui: as raízes estão em
e em
, respectivamente.
Passo 4
Agora vou explicar o método da bisseção antes de aplicar. Aula rápida e prática:
- Dado um intervalo inicial
com , define-se o ponto médio
- Avalia-se
. Se então é a raiz; se tiver o mesmo sinal que , a raiz fica em ; se tiver o mesmo sinal que , a raiz fica em . - Repetindo o processo, a cada iteração o intervalo que contém a raiz tem comprimento divididos por
. Depois de iterações, o comprimento do intervalo é . - A aproximação da raiz após cada iteração é o ponto médio
daquela iteração.
Vamos aplicar na maior raiz, começando com o intervalo que encontramos:
. Aqui
e
, então condição satisfeita.
Passo 5
Calcule o ponto médio:
Avalie
em
:
Como
e
, o sinal em
é igual ao de
. Portanto a raiz está no subintervalo
.
Aproximação após 1ª iteração:
.
Novo intervalo: .
Novo intervalo:
Passo 6
Calcule o novo ponto médio:
Avalie
em
:
Observamos
e
, então a raiz está no subintervalo
.
Aproximação após 2ª iteração:
.
Novo intervalo: .
Novo intervalo:
Passo 7
Calcule o ponto médio:
Avalie
em
:
Agora
e
, então a raiz está no subintervalo
.
Aproximação após 3ª iteração:
.
Intervalo final após 3 iterações: .
Intervalo final após 3 iterações:
Passo 8
Interpretações úteis para a prova:
- A cada iteração a incerteza (metade do comprimento do intervalo) diminui por fator
. Depois de 3 iterações o comprimento do intervalo é . Assim sabemos que a raiz real está dentro de e o erro máximo absoluto da aproximação é no máximo (a metade do comprimento do intervalo). - Se quiser uma aproximação central do intervalo final após 3 iterações, a média de
e é ; essa é outra escolha válida de aproximação com erro máximo . Mas a prática do método costuma reportar o último ponto médio calculado, aqui .
Resposta
Intervalo das raízes:
e
.
Aproximações pela bisseção (maior raiz) — 3 iterações: ,
,
. Intervalo final após 3 iterações:
.
Aproximações pela bisseção (maior raiz) — 3 iterações: