De acordo com a função determine o intervalo das raízes e faça três interações para a maior raiz pelo método da bisseção:
y=-x^{2}+4 x+1

Passo 1

O enunciado fornece a função y = -x^{2} + 4x + 1 e pede duas coisas:
  1. Determinar o intervalo onde estão as raízes da função (ou seja, localizar intervalos em que cada raiz se encontra).
  2. Fazer três iterações do método da bisseção para aproximar a maior raiz.
Informações relevantes dadas diretamente pelo enunciado:
y(x) = -x^{2} + 4x + 1.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar as raízes exatas da função (isso ajuda a saber onde procurá‑las e serve de verificação). As raízes são as soluções da equação
-x^{2} + 4x + 1 = 0.
Multiplicando por -1 (para deixar o coeficiente de x^{2} positivo) obtemos
x^{2} - 4x - 1 = 0.
Aqui devo usar a fórmula quadrática. Uma pequena aula sobre a fórmula quadrática:
  • Para uma equação quadrática genérica \,ax^{2}+bx+c=0, as soluções são dadas por
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.
  • Neste caso a=1, b=-4 (note o sinal depois de multiplicar por -1 o termo linear ficou -4x na forma padrão) e c=-1.
Aplicando a fórmula:
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4\cdot 1 \cdot (-1)}}{2\cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2}.
Simplificando \sqrt{20} = 2\sqrt{5}, obtemos
x = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}.
Portanto as duas raízes exatas são \,x = 2 - \sqrt{5} e \,x = 2 + \sqrt{5}.

Passo 3

Vamos obter aproximações numéricas para essas raízes (úteis pra escolher intervalos com números inteiros e para conferir a bisseção). Uma pequena nota sobre aproximação: \sqrt{5}\approx 2,23607 (usar algumas casas decimais já é suficiente em provas sem calculadora para estimativas).
Então:
2 - \sqrt{5} \approx 2 - 2,23607 \approx -0,23607,
2 + \sqrt{5} \approx 2 + 2,23607 \approx 4,23607.
Agora, para determinar intervalos com números inteiros que contenham cada raiz, avalio y(x) em pontos inteiros próximos e procuro mudança de sinal (teorema do valor intermediário: se y(a) e y(b) tiverem sinais opostos e y for contínua, existe uma raiz em [a,b]).
Calculemos:
y(-1) = -(-1)^{2} + 4(-1) + 1 = -1 -4 +1 = -4,
y(0) = -0^{2} + 4\cdot 0 + 1 = 1.
Como y(-1) = -4 < 0 e y(0)=1>0, há mudança de sinal em [-1,0], logo a raiz menor (aprox. -0,23607) está em [-1,0].
Para a maior raiz:
y(4) = -4^{2} + 4\cdot 4 + 1 = -16 + 16 + 1 = 1,
y(5) = -5^{2} + 4\cdot 5 + 1 = -25 +20 +1 = -4.
Como y(4)=1>0 e y(5)=-4<0, há mudança de sinal em [4,5], logo a raiz maior (aprox. 4,23607) está em [4,5].
Resumo até aqui: as raízes estão em [-1,0] e em [4,5], respectivamente.

Passo 4

Agora vou explicar o método da bisseção antes de aplicar. Aula rápida e prática:
  • Dado um intervalo inicial [a,b] com y(a)\cdot y(b)<0, define-se o ponto médio
c = \frac{a+b}{2}.
  • Avalia-se y\text{(c)}. Se y\text{(c)}=0 então c é a raiz; se y\text{(c)} tiver o mesmo sinal que y(a), a raiz fica em [c,b]; se tiver o mesmo sinal que y(b), a raiz fica em [a,c].
  • Repetindo o processo, a cada iteração o intervalo que contém a raiz tem comprimento divididos por 2. Depois de n iterações, o comprimento do intervalo é (b-a)/2^{n}.
  • A aproximação da raiz após cada iteração é o ponto médio c daquela iteração.
Vamos aplicar na maior raiz, começando com o intervalo que encontramos: [a,b]=[4,5]. Aqui y(4)=1>0 e y(5)=-4<0, então condição satisfeita.

Passo 5

Calcule o ponto médio:
c_{1} = \frac{4 + 5}{2} = 4,5.
Avalie y em c_{1}:
y(4,5) = -(4{,}5)^{2} + 4\cdot 4{,}5 + 1 = -20{,}25 + 18 + 1 = -1{,}25.
Como y(4)=1>0 e y(4{,}5)=-1{,}25<0, o sinal em c_{1} é igual ao de b=5. Portanto a raiz está no subintervalo [4,4{,}5].
Aproximação após 1ª iteração: c_{1}=4{,}5.
Novo intervalo: [a,b]=[4,4{,}5].

Passo 6

Calcule o novo ponto médio:
c_{2} = \frac{4 + 4{,}5}{2} = 4{,}25.
Avalie y em c_{2}:
y(4{,}25) = -(4{,}25)^{2} + 4\cdot 4{,}25 + 1 = -18{,}0625 + 17 + 1 = -0{,}0625.
Observamos y(4)=1>0 e y(4{,}25)=-0{,}0625<0, então a raiz está no subintervalo [4,4{,}25].
Aproximação após 2ª iteração: c_{2}=4{,}25.
Novo intervalo: [a,b]=[4,4{,}25].

Passo 7

Calcule o ponto médio:
c_{3} = \frac{4 + 4{,}25}{2} = 4{,}125.
Avalie y em c_{3}:
y(4{,}125) = -(4{,}125)^{2} + 4\cdot 4{,}125 + 1 = -17{,}015625 + 16{,}5 + 1 = 0{,}484375.
Agora y(4{,}125)>0 e y(4{,}25)=-0{,}0625<0, então a raiz está no subintervalo [4{,}125,4{,}25].
Aproximação após 3ª iteração: c_{3}=4{,}125.
Intervalo final após 3 iterações: [4{,}125,\,4{,}25].

Passo 8

Interpretações úteis para a prova:
  • A cada iteração a incerteza (metade do comprimento do intervalo) diminui por fator 2. Depois de 3 iterações o comprimento do intervalo é (5-4)/2^{3} = 1/8 = 0{,}125. Assim sabemos que a raiz real está dentro de [4{,}125,4{,}25] e o erro máximo absoluto da aproximação c_{3} é no máximo 0{,}0625 (a metade do comprimento do intervalo).
  • Se quiser uma aproximação central do intervalo final após 3 iterações, a média de 4{,}125 e 4{,}25 é 4{,}1875; essa é outra escolha válida de aproximação com erro máximo 0{,}0625. Mas a prática do método costuma reportar o último ponto médio calculado, aqui c_{3}=4{,}125.

Resposta

Intervalo das raízes: [-1,0] e [4,5].
Aproximações pela bisseção (maior raiz) — 3 iterações: c_{1}=4{,}5, c_{2}=4{,}25, c_{3}=4{,}125. Intervalo final após 3 iterações: [4{,}125,\,4{,}25].

Exercícios relacionados