De acordo com a Lei empirica de Newton de Resfriamento/Aquecimento, a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia, num dado instante de tempo, é proporcional à diferença entre temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia (denominada de temperatura ambiente) naquele instante. Se
representa a temperatura de um corpo no instante
e
, a temperatura do meio que o rodeia, sendo constante ao longo do tempo, a Lei de Newton do resfriamento/aquecimento é convertida na sentença matemática:
onde
é uma constante de proporcionalidade negativa.
A temperatura de um café, logo depois de ser coado, é de
. Um minuto depois, constata-se que sua temperatura passa para
. Sabendo que a temperatura da cozinha, onde está o café, é constante e igual a
, responda:
Resolvendo a equação diferencial que modela o problema, determine a função que fornece a temperatura do café no instante de tempo
, em minutos.
A temperatura de um café, logo depois de ser coado, é de
Resolvendo a equação diferencial que modela o problema, determine a função que fornece a temperatura do café no instante de tempo
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um café que está esquentando ou esfriando conforme o tempo passa, e isso segue a Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton. O que a gente precisa fazer é resolver uma equação diferencial que descreve como a temperatura do café muda ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial e a própria lei mencionada para chegar na função que nos diz a temperatura do café em qualquer instante
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que descreve a situação. A Lei de Newton do Resfriamento/Aquecimento é dada por:
Aqui,
é a temperatura do café no tempo
,
é a temperatura ambiente (que é constante e igual a
), e
é uma constante negativa que representa a taxa de resfriamento.
Passo 3
Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial para encontrar
. Vamos começar separando as variáveis. Podemos reescrever a equação como:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Então, temos:
Para simplificar, podemos eliminar o valor absoluto e reescrever a equação como:
Onde agora
incorpora a constante positiva ou negativa.
Passo 6
Vamos resolver para
:
Isso nos dá a forma geral da função de temperatura ao longo do tempo.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar os valores das constantes
e
usando as condições fornecidas:
- Quando
, . - Quando
, .
Passo 8
Primeiro, aplicamos a condição inicial
:
Passo 9
Agora, usamos a segunda condição
:
Passo 10
Para encontrar
, tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 11
Agora que temos
e
, podemos escrever a função
:
Resposta
A função que fornece a temperatura do café no instante de tempo
é: