De acordo com a Lei empirica de Newton de Resfriamento/Aquecimento, a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia, num dado instante de tempo, é proporcional à diferença entre temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia (denominada de temperatura ambiente) naquele instante. Se T = T(t) representa a temperatura de um corpo no instante t e Tm, a temperatura do meio que o rodeia, sendo constante ao longo do tempo, a Lei de Newton do resfriamento/aquecimento é convertida na sentença matemática:
d Td t=k[T-Tm]
onde k é uma constante de proporcionalidade negativa.
A temperatura de um café, logo depois de ser coado, é de 90^circ C. Um minuto depois, constata-se que sua temperatura passa para 85^circ C. Sabendo que a temperatura da cozinha, onde está o café, é constante e igual a 25^circ C, responda:
Resolvendo a equação diferencial que modela o problema, determine a função que fornece a temperatura do café no instante de tempo t, em minutos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um café que está esquentando ou esfriando conforme o tempo passa, e isso segue a Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton. O que a gente precisa fazer é resolver uma equação diferencial que descreve como a temperatura do café muda ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial e a própria lei mencionada para chegar na função que nos diz a temperatura do café em qualquer instante t .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que descreve a situação. A Lei de Newton do Resfriamento/Aquecimento é dada por:
dTdt = k(T - Tm)
Aqui, T(t) é a temperatura do café no tempo t , Tm é a temperatura ambiente (que é constante e igual a 25^circ C ), e k é uma constante negativa que representa a taxa de resfriamento.

Passo 3

Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial para encontrar T(t) . Vamos começar separando as variáveis. Podemos reescrever a equação como:
dTT - Tm = k , dt

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
integral 1T - Tm , dT = ln|T - Tm|
E a integral do lado direito é:
integral k , dt = kt + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Então, temos:
ln|T - Tm| = kt + C
Para simplificar, podemos eliminar o valor absoluto e reescrever a equação como:
T - Tm = Ce^kt
Onde agora C incorpora a constante positiva ou negativa.

Passo 6

Vamos resolver para T(t) :
T(t) = Tm + Ce^kt
Isso nos dá a forma geral da função de temperatura ao longo do tempo.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar os valores das constantes C e k usando as condições fornecidas:
  1. Quando t = 0 , T = 90^circ C .
  2. Quando t = 1 , T = 85^circ C .

Passo 8

Primeiro, aplicamos a condição inicial T(0) = 90 :
90 = 25 + C e^k cdot 0 Rightarrow 90 = 25 + C Rightarrow C = 65

Passo 9

Agora, usamos a segunda condição T(1) = 85 :
85 = 25 + 65 e^k cdot 1 Rightarrow 60 = 65 e^k Rightarrow e^k = 6065 = 1213

Passo 10

Para encontrar k , tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
k = ln(1213) approx ln(0,9231) approx -0,0800

Passo 11

Agora que temos C = 65 e k approx -0,0800 , podemos escrever a função T(t) :
T(t) = 25 + 65 e^-0,0800 t

Resposta

A função que fornece a temperatura do café no instante de tempo t é:
T(t) = 25 + 65 e^-0,0800, t

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