Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
y^prime(x)+3 y(x)=x+e^-2 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo y^prime(x) + 3 y(x) = x + e^-2x . Isso está na área de Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem, mais especificamente uma equação linear. Para resolver, vamos precisar usar fator integrante e seguir alguns passos básicos. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y^prime + P(x) y = Q(x)
No nosso caso, P(x) = 3 e Q(x) = x + e^-2x .

Passo 3

Agora, a gente precisa encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) = 3 :
mu(x) = e^integral 3 dx = e^3x

Passo 4

Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por mu(x) :
e^3x y^prime + 3 e^3x y = e^3x ( x + e^-2x )
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto mu(x) y .

Passo 5

Reconhecendo que:
ddx ( e^3x y ) = e^3x y^prime + 3 e^3x y
Então, podemos reescrever a equação como:
ddx ( e^3x y ) = e^3x x + e^3x e^-2x
Simplificando o lado direito:
ddx ( e^3x y ) = e^3x x + e^x

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a x :
integral ddx ( e^3x y ) dx = integral ( e^3x x + e^x ) dx
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente:
e^3x y = integral e^3x x dx + integral e^x dx

Passo 7

Vamos resolver as integrais do lado direito. Primeiramente, a integral integral e^x dx é simples:
integral e^x dx = e^x + C
Agora, para integral e^3x x dx , usamos a técnica de integração por partes, onde:
u = x Rightarrow du = dx dv = e^3x dx Rightarrow v = 13 e^3x
Aplicando a integração por partes:
integral e^3x x dx = 13 e^3x x - 13 integral e^3x dx = 13 e^3x x - 19 e^3x + C

Passo 8

Substituindo as integrais de volta na equação:
e^3x y = ( 13 e^3x x - 19 e^3x ) + e^x + C
Agora, vamos isolar y dividindo ambos os lados por e^3x :
y = 13 x - 19 + e^x e^-3x + C e^-3x
Simplificando e^x e^-3x = e^-2x :
y = 13 x - 19 + e^-2x + C e^-3x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 13 x - 19 + e^-2x + C e^-3x
onde C é a constante de integração.

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