Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Isso está na área de Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem, mais especificamente uma equação linear. Para resolver, vamos precisar usar fator integrante e seguir alguns passos básicos. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, a gente precisa encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por
:
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
.
Passo 5
Reconhecendo que:
Então, podemos reescrever a equação como:
Simplificando o lado direito:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente:
Passo 7
Vamos resolver as integrais do lado direito. Primeiramente, a integral
é simples:
Agora, para
, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Passo 8
Substituindo as integrais de volta na equação:
Agora, vamos isolar
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.