Dada f(x, y, z)=e^raizz-x^2-y^2, determine partial^3 fpartial x^2 partial y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(x, y, z) = e^raizz - x^2 - y^2 e precisamos encontrar a derivada parcial de terceira ordem, ou seja, partial^3 fpartial x^2 partial y . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente a regra da cadeia e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que f é uma função que depende de três variáveis: x , y e z . Queremos derivar f duas vezes em relação a x e uma vez em relação a y . Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de f em relação a x .

Passo 3

Para derivar f em relação a x , usamos a regra da cadeia. A derivada de e^u em relação a u é e^u , e depois multiplicamos pela derivada de u em relação a x , onde u = raizz - x^2 - y^2 .
Então,
partial fpartial x = e^raizz - x^2 - y^2 cdot partialpartial x ( raizz - x^2 - y^2 )

Passo 4

Agora, derivamos raizz - x^2 - y^2 em relação a x . Lembre-se que a derivada de raizv é 12raizv cdot partial vpartial x , onde v = z - x^2 - y^2 .
Então,
partialpartial x ( raizz - x^2 - y^2 ) = 12raizz - x^2 - y^2 cdot (-2x) = -xraizz - x^2 - y^2

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da primeira derivada:
partial fpartial x = e^raizz - x^2 - y^2 cdot ( -xraizz - x^2 - y^2 ) = -x cdot e^raizz - x^2 - y^2raizz - x^2 - y^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial^2 fpartial x^2 . Precisamos derivar novamente a expressão que encontramos no passo anterior em relação a x .
partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x ( -x cdot e^raizz - x^2 - y^2raizz - x^2 - y^2 )

Passo 7

Vamos aplicar a regra do quociente e a regra do produto para essa derivada. Primeiro, identifique as funções:
  • u = x
  • v = e^raizz - x^2 - y^2
  • w = raizz - x^2 - y^2
Derivando cada parte:
partial upartial x = 1
partial vpartial x = e^raizz - x^2 - y^2 cdot ( -xraizz - x^2 - y^2 ) = -x cdot e^raizz - x^2 - y^2raizz - x^2 - y^2
partial wpartial x = -xraizz - x^2 - y^2

Passo 8

Agora, aplicando a regra do produto na derivada de partial^2 fpartial x^2 :
partial^2 fpartial x^2 = -( partial upartial x cdot vw + u cdot partialpartial x ( vw ) )
Calculando cada termo:
partialpartial x ( vw ) = w cdot partial vpartial x - v cdot partial wpartial xw^2 = w cdot ( -x cdot e^raizz - x^2 - y^2w ) - v cdot ( -xw )w^2
= -x cdot e^raizz - x^2 - y^2 + x cdot e^raizz - x^2 - y^2w^2 = 0
Então,
partial^2 fpartial x^2 = -( 1 cdot vw + x cdot 0 ) = -e^raizz - x^2 - y^2raizz - x^2 - y^2

Passo 9

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y da segunda derivada que encontramos:
partial^3 fpartial x^2 partial y = partialpartial y ( -e^raizz - x^2 - y^2raizz - x^2 - y^2 )

Passo 10

Novamente, vamos aplicar a regra da cadeia. Primeiro, note que temos uma função do tipo e^uu , onde u = raizz - x^2 - y^2 . Precisamos derivar isso em relação a y .
partialpartial y ( e^uu ) = u cdot e^u cdot partial upartial y - e^u cdot partial upartial yu^2 = e^u cdot u cdot partial upartial y - partial upartial yu^2
Simplificando:
= e^u cdot (u - 1) cdot partial upartial yu^2

Passo 11

Agora, calculamos partial upartial y , onde u = raizz - x^2 - y^2 :
partial upartial y = -yraizz - x^2 - y^2

Passo 12

Substituindo de volta na expressão da derivada:
partial^3 fpartial x^2 partial y = e^raizz - x^2 - y^2 cdot (raizz - x^2 - y^2 - 1) cdot ( -yraizz - x^2 - y^2 )(z - x^2 - y^2)
= -y cdot e^raizz - x^2 - y^2 cdot (raizz - x^2 - y^2 - 1)(z - x^2 - y^2)^3/2

Resposta

Portanto, a derivada parcial de terceira ordem é:
partial^3 fpartial x^2 partial y = -y cdot e^raizz - x^2 - y^2 cdot (raizz - x^2 - y^2 - 1)(z - x^2 - y^2)^3/2

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