Dada
, determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos encontrar a derivada parcial de terceira ordem, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente a regra da cadeia e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é uma função que depende de três variáveis:
,
e
. Queremos derivar
duas vezes em relação a
e uma vez em relação a
. Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
, onde
.
Então,
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
. Lembre-se que a derivada de
é
, onde
.
Então,
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da primeira derivada:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Precisamos derivar novamente a expressão que encontramos no passo anterior em relação a
.
Passo 7
Vamos aplicar a regra do quociente e a regra do produto para essa derivada. Primeiro, identifique as funções:
Derivando cada parte:
Passo 8
Agora, aplicando a regra do produto na derivada de
:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 9
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
da segunda derivada que encontramos:
Passo 10
Novamente, vamos aplicar a regra da cadeia. Primeiro, note que temos uma função do tipo
, onde
. Precisamos derivar isso em relação a
.
Simplificando:
Passo 11
Agora, calculamos
, onde
:
Passo 12
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Resposta
Portanto, a derivada parcial de terceira ordem é: