Prove que cada um dos conjuntos abaixo admite máximo e mínimo.
A=x^2+x1+x^2 rvert,-1 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = lx^2+x1+x^2;m|;-1<= x<= 1r
e pede para provar que A admite máximo e mínimo. Aqui o conteúdo é o Teorema do Valor Extremo, que diz que se uma função é contínua num intervalo fechado e limitado, então sua imagem tem ponto de máximo e de mínimo.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=x^2+x1+x^2
para xin[-1,1]. Note que o denominador 1+x^2 nunca se anula, logo f é contínua em todo [-1,1]. Como [-1,1] é compacto, pela continuidade de f sua imagem f([-1,1])=A tem máximo e mínimo.

Passo 3

Para localizar esses extremos, calculamos os pontos críticos de f. Usando a regra do quociente,
f'(x) =(2x+1)(1+x^2)-(x^2+x)(2x)(1+x^2)^2 =-x^2+2x+1(1+x^2)^2
Os zeros de f'(x) vêm de
-x^2+2x+1=0 Longrightarrow x^2-2x-1=0 Longrightarrow x=1pmraiz2
Destes, apenas
xc=1-raiz2
pertence a [-1,1].

Passo 4

Agora avaliamos f nos três candidatos ao extremo: x=-1, x=1 e x=xc.
Em x=1:
f(1)=1^2+11+1^2=22=1
Em x=-1:
f(-1)=(-1)^2+(-1)1+(-1)^2 =1-11+1=0
Em x=1-raiz2:
fl(1-raiz2r) =(1-raiz2)^2+(1-raiz2)1+(1-raiz2)^2 =4-3raiz24-2raiz2 =1-raiz22

Passo 5

Comparando os valores:
f(1)=1, f(-1)=0, f(1-raiz2)=1-raiz22approx -0,2071
Logo o menor valor é tfrac1-raiz22 e o maior é 1.

Resposta

O conjunto A admite mínimo 1-raiz22 (atingido em x=1-raiz2) e máximo 1 (atingido em x=1).

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