Prove que cada um dos conjuntos abaixo admite máximo e mínimo.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
A = lx^2+x1+x^2;m|;-1<= x<= 1r
e pede para provar que A admite máximo e mínimo. Aqui o conteúdo é o Teorema do Valor Extremo, que diz que se uma função é contínua num intervalo fechado e limitado, então sua imagem tem ponto de máximo e de mínimo.
Passo 2
Definimos a função
f(x)=x^2+x1+x^2
para xin[-1,1]. Note que o denominador 1+x^2 nunca se anula, logo f é contínua em todo [-1,1]. Como [-1,1] é compacto, pela continuidade de f sua imagem f([-1,1])=A tem máximo e mínimo.
Passo 3
Para localizar esses extremos, calculamos os pontos críticos de f. Usando a regra do quociente,