De acordo com a lei dos gases ideais para um gás confinado, se P for a pressão em N / m^{2}, V for o volume em m^{3} e T a temperatura em graus, então teremos a fórmula P V=k T.
a) Calcule \frac{\partial P}{\partial V} e \frac{\partial P}{\partial T}
b) Prove que \frac{\partial V}{\partial T} \frac{\partial T}{\partial P} \frac{\partial P}{\partial V}=-1
c) Suponha que o volume de um gás seja 100 m^{3}, sua temperatura seja 90^{\circ} e k=8. Qual a taxa de variação de P em relação a T se o volume continuar o mesmo?
d) O que acontece com a pressão se a temperatura aumentar de 90^{\circ} para 92^{\circ}

Passo 1

O enunciado trabalha com a lei dos gases ideais para um gás confinado, dada por
P\,V = k\,T
onde P é a função de duas variáveis V e T. Vamos usar o conceito de derivada parcial e a regra cíclica de derivadas implícitas para responder às perguntas.

Passo 2

Para (a) escrevemos P explicitamente em função de V e T:
P(V,T) = \frac{k\,T}{V}.
Derivando em relação a V (mantendo T constante):
\frac{\partial P}{\partial V} = \frac{\partial}{\partial V}\Bigl(\frac{kT}{V}\Bigr) = -\frac{k\,T}{V^2}.
Derivando em relação a T (mantendo V constante):
\frac{\partial P}{\partial T} = \frac{\partial}{\partial T}\Bigl(\frac{kT}{V}\Bigr) = \frac{k}{V}.

Passo 3

Para (b) usamos a forma inversa de funções implícitas: da equação
F(P,V,T) = P\,V - k\,T = 0
sabemos que \displaystyle \frac{\partial P}{\partial V} = -\frac{F_V}{F_P}, \displaystyle \frac{\partial T}{\partial P} = -\frac{F_P}{F_T} e \displaystyle \frac{\partial V}{\partial T} = -\frac{F_T}{F_V}.
Calculando os parciais de F:
F_V = P,\quad F_P = V,\quad F_T = -k.
Logo
\frac{\partial V}{\partial T}\,\frac{\partial T}{\partial P}\,\frac{\partial P}{\partial V} = \Bigl(-\frac{F_T}{F_V}\Bigr)\Bigl(-\frac{F_P}{F_T}\Bigr)\Bigl(-\frac{F_V}{F_P}\Bigr) = (-1)(-1)(-1) = -1.

Passo 4

Para (c) temos V=100, T=90 e k=8. A taxa de variação de P em relação a T (com V constante) é
\frac{\partial P}{\partial T} = \frac{k}{V} = \frac{8}{100} = 0,08\quad\bigl(N/m^2\text{ por grau}\bigr).

Passo 5

Para (d) se a temperatura aumenta de 90 para 92 (variação \Delta T=2), a variação aproximada de P é
\Delta P \approx \frac{\partial P}{\partial T}\,\Delta T = 0,08 \times 2 = 0,16\quad N/m^2,
ou seja, a pressão sobe de 7,2 para 7,36,N/ m^{2}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{\partial P}{\partial V} = -\frac{kT}{V^2},\quad \frac{\partial P}{\partial T} = \frac{k}{V}.
b) \displaystyle \frac{\partial V}{\partial T}\,\frac{\partial T}{\partial P}\,\frac{\partial P}{\partial V} = -1.
c) \displaystyle \frac{\partial P}{\partial T} = 0,08\\ N/m^2\text{ por grau}.
d) A pressão aumenta em 0,16\\ N/m^2.

Exercícios relacionados