De acordo com a lei dos gases ideais para um gás confinado, se
for a pressão em
for o volume em
e
a temperatura em graus, então teremos a fórmula
.
a) Calcule
e
b) Prove que
c) Suponha que o volume de um gás seja
, sua temperatura seja
e
. Qual a taxa de variação de
em relação a
se o volume continuar o mesmo?
d) O que acontece com a pressão se a temperatura aumentar de
para
a) Calcule
b) Prove que
c) Suponha que o volume de um gás seja
d) O que acontece com a pressão se a temperatura aumentar de
Passo 1
O enunciado trabalha com a lei dos gases ideais para um gás confinado, dada por
onde
é a função de duas variáveis
e
. Vamos usar o conceito de derivada parcial e a regra cíclica de derivadas implícitas para responder às perguntas.
Passo 2
Para (a) escrevemos
explicitamente em função de
e
:
Derivando em relação a
(mantendo
constante):
Derivando em relação a
(mantendo
constante):
Passo 3
Para (b) usamos a forma inversa de funções implícitas: da equação
sabemos que
,
e
.
Calculando os parciais de :
Calculando os parciais de
Logo
Passo 4
Para (c) temos
,
e
. A taxa de variação de
em relação a
(com
constante) é
Passo 5
Para (d) se a temperatura aumenta de
para
(variação
), a variação aproximada de
é
ou seja, a pressão sobe de
para
,N/
.
Resposta
a)
b)
c)
d) A pressão aumenta em .
b)
c)
d) A pressão aumenta em