A compressibilidade isotérmica, \kappa, de uma gás ideal quando a temperatura é constante, é definida como
\kappa=-\frac{1}{V} \frac{\partial V}{\partial p}
onde V é o volume e p é a pressão. Use a lei dos gases ideais para mostrar que, se a temperatura for constante, então \kappa=\frac{1}{p}.

Passo 1

O enunciado define a compressibilidade isotérmica
\kappa=-\frac{1}{V}\,\frac{\partial V}{\partial p}
de um gás ideal à temperatura constante e pede para mostrar que \kappa=\tfrac{1}{p}. Vamos usar a lei dos gases ideais e cálculo de derivada parcial.

Passo 2

A lei dos gases ideais é
pV = nRT,
onde n é o número de mols, R a constante universal e T a temperatura constante. Isolando V, obtemos
V = \frac{nRT}{p}.

Passo 3

Como T e n são constantes, calculamos
\frac{\partial V}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p}\!\Bigl(nRT\,p^{-1}\Bigr) = -\,nRT\,p^{-2}.

Passo 4

Substituindo em
\kappa=-\frac{1}{V}\,\frac{\partial V}{\partial p}
vem
\kappa =-\frac{1}{V}\Bigl(-nRT\,p^{-2}\Bigr) =\frac{nRT}{V\,p^{2}}.
Como V = nRT/p, temos nRT/V = p. Logo
\kappa = \frac{p}{p^{2}} = \frac{1}{p}.

Resposta

\displaystyle \kappa = \frac{1}{p}.

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