Calcule, caso exista:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{4}+y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar o limite em duas variáveis
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y^{2}}{x^{4}+y^{4}}.
O conteúdo é análise de limites no plano, e vamos usar o critério de diferenças de valor ao seguir diferentes curvas de aproximação para decidir se o limite existe.

Passo 2

Escolhemos a reta y=0. Substituindo em \frac{x^{2}y^{2}}{x^{4}+y^{4}} obtemos
\frac{x^{2}\cdot0^{2}}{x^{4}+0^{4}} = 0.
Logo, ao longo de y=0, o valor da função tende a 0.

Passo 3

Agora escolhemos a reta y=x. Substituindo em \frac{x^{2}y^{2}}{x^{4}+y^{4}}
\frac{x^{2}\cdot x^{2}}{x^{4}+x^{4}} = \frac{x^{4}}{2x^{4}} = \frac12.
Logo, ao longo de y=x, o valor da função tende a
\frac12.

Passo 4

Como pelas duas curvas de aproximação chegamos a limites diferentes 0 em y=0 e \tfrac12 em y=x, o limite geral não pode existir: ele dependeria da direção de aproximação.

Resposta

O limite não existe.

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