De acordo com a lei de resfriamento de Nerwton, a temperatura T(t) de um objeto satisfaz a equação diferencial
\frac{d T}{d t}=-r\left(T-T_{a}\right)
onde T_{a} é a temperatura ambiente constante e r é uma constante positiva. Suponha que a temperatura inicial do objeto seja T(0)=T_{0}.
Para T_{a}=25, r=3 e T_{0}=50, determine a temperatura do objeto em qualquer instante, isto é, calcule T(t).

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos a equação diferencial
\frac{dT}{dt}=-r\,(T-T_{a})
com T_{a}=25, r=3 e condição inicial T(0)=T_{0}=50. O conteúdo é resolver uma equação diferencial de primeira ordem, separável.

Passo 2

Separamos as variáveis em
\frac{dT}{T-T_{a}}=-r\,dt
e substituímos T_{a} e r, obtendo
\frac{dT}{T-25}=-3\,dt.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dT}{T-25} = \int -3\,dt
Isso resulta em
\ln\bigl|T-25\bigr|=-3t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Exponenciando, temos
\bigl|T-25\bigr|=e^{C}e^{-3t}.
Definimos K=e^{C}, de modo que
T-25 = K\,e^{-3t}.
Usando T(0)=50, obtemos 50-25=25=K.

Passo 5

Portanto, a solução particular é
T(t)=25 + 25\,e^{-3t}.

Resposta

T(t)=25+25\,e^{-3t}

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