Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} x \cdot\left(a^{1 / x}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}x\bigl(a^{1/x}-1\bigr).
Isso é um caso de limite do tipo “ \infty\cdot0”. Vamos usar a identidade
a^b = e^{b\ln(a)}
e o limite fundamental
\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1.

Passo 2

Reescrevemos
a^{1/x}=e^{(1/x)\ln(a)},
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x\bigl(a^{1/x}-1\bigr) = x\bigl(e^{(\ln(a))/x}-1\bigr).

Passo 3

Defina a variável auxiliar
y=\frac{\ln(a)}{x},
que satisfaz y\to0 quando x\to+\infty. Então x=\ln(a)/y e e^{(\ln(a))/x}=e^y. Substituindo,
x\bigl(e^{(\ln(a))/x}-1\bigr) = \frac{\ln(a)}{y}\bigl(e^y-1\bigr) = \ln(a)\,\frac{e^y-1}{y}.

Passo 4

Como y\to0 e
\lim_{y\to0}\frac{e^y-1}{y}=1,
seguimos que
\lim_{x\to+\infty}x\bigl(a^{1/x}-1\bigr) = \ln(a).

Resposta

\ln(a)

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