De acordo com a lei de resfriamento de Nerwton, a temperatura
de um objeto satisfaz a equação diferencial
onde
é a temperatura ambiente constante e
é uma constante positiva. Suponha que a temperatura inicial do objeto seja
.
O modelo matemático (1) representa uma equação linear de primeira ordem? Justifique sua resposta.
O modelo matemático (1) representa uma equação linear de primeira ordem? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
. Pergunta-se se esse modelo é uma equação linear de primeira ordem. Para responder, vamos reescrever a equação em sua forma padrão e identificar
e
.
Passo 2
Expandindo o parêntese e passando todos os termos envolvendo
para o lado esquerdo, temos
Passo 3
Compare com a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
Aqui
(constante) e
(constante). Ambos dependem apenas de
(ou são constantes), sem criar termos não lineares em
.
Passo 4
Como a equação pode ser escrita exatamente como
com
e
contínuos, ela é de fato uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Resposta
Sim. A equação pode ser escrita como
que é a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem.