De acordo com a lei de resfriamento de Nerwton, a temperatura T(t) de um objeto satisfaz a equação diferencial
\frac{d T}{d t}=-r\left(T-T_{a}\right)
onde T_{a} é a temperatura ambiente constante e r é uma constante positiva. Suponha que a temperatura inicial do objeto seja T(0)=T_{0}.
O modelo matemático (1) representa uma equação linear de primeira ordem? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dT}{dt} \;=\;-\,r\bigl(T - T_{a}\bigr)
com condição inicial T(0)=T_{0}. Pergunta-se se esse modelo é uma equação linear de primeira ordem. Para responder, vamos reescrever a equação em sua forma padrão e identificar p(t) e q(t).

Passo 2

Expandindo o parêntese e passando todos os termos envolvendo T para o lado esquerdo, temos
\frac{dT}{dt} = -\,r\,T + r\,T_{a} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dT}{dt} + r\,T = r\,T_{a}.

Passo 3

Compare com a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
\frac{dT}{dt} + p(t)\,T = q(t).
Aqui p(t)=r (constante) e q(t)=r\,T_{a} (constante). Ambos dependem apenas de t (ou são constantes), sem criar termos não lineares em T.

Passo 4

Como a equação pode ser escrita exatamente como \frac{dT}{dt}+p(t)\,T=q(t) com p e q contínuos, ela é de fato uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Resposta

Sim. A equação pode ser escrita como
\frac{dT}{dt} + r\,T = r\,T_{a},
que é a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem.

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