Sejam as seguintes seguintes equações diferenciais ordinárias: (1)
e (2)
.
a) Qual(quais ) destas é (são) de variáveis separáveis? Justifique sua resposta.
b) Qual(quais ) destas é (são) não linear? Justifique sua resposta.
a) Qual(quais ) destas é (são) de variáveis separáveis? Justifique sua resposta.
b) Qual(quais ) destas é (são) não linear? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado apresenta duas equações diferenciais ordinárias:
Pede-se, em (a), identificar quais são de variáveis separáveis e, em (b), quais são não lineares. Vamos usar os conceitos de separabilidade e de linearidade em equações de primeira ordem.
Passo 2
Para testar se uma equação é de variáveis separáveis, escrevemos
isolado e verificamos se podemos agrupar todos os termos em
multiplicando
de um lado e todos os em
multiplicando
do outro, ou seja, obter uma forma
– Na equação (1) temos
Isso mistura
e
de modo que não é possível escrever algo como
. Logo, (1) não é de variáveis separáveis.
– Na equação (2) temos
Agora basta reescrever
como
e separar:
o que é exatamente a forma separável. Portanto, (2) é de variáveis separáveis.
Passo 3
Uma equação diferencial de primeira ordem é dita linear se pode ser colocada na forma
ou seja,
e
aparecem apenas em grau 1 e sem produtos entre si. Caso contrário, é não linear.
– Na equação (1) aparece o termo
, que é produto entre
e
. Isso impede a forma linear padrão. Logo, (1) é não linear.
– Na equação (2) podemos escrever
que está na forma linear com
,
e
. Portanto, (2) é linear.
Resposta
a) Apenas a equação (2) é de variáveis separáveis.
b) Apenas a equação (1) é não linear.
b) Apenas a equação (1) é não linear.