Sejam as seguintes seguintes equações diferenciais ordinárias: (1) y y^{\prime}= y+x \quad e (2) \quad e^{x} y^{\prime}=x y.
a) Qual(quais ) destas é (são) de variáveis separáveis? Justifique sua resposta.
b) Qual(quais ) destas é (são) não linear? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado apresenta duas equações diferenciais ordinárias:
(1)\;y\,y' \;=\; y + x
(2)\;e^{x}\,y' \;=\; x\,y
Pede-se, em (a), identificar quais são de variáveis separáveis e, em (b), quais são não lineares. Vamos usar os conceitos de separabilidade e de linearidade em equações de primeira ordem.

Passo 2

Para testar se uma equação é de variáveis separáveis, escrevemos y' isolado e verificamos se podemos agrupar todos os termos em y multiplicando \mathrm{d}y de um lado e todos os em x multiplicando \mathrm{d}x do outro, ou seja, obter uma forma
f(y)\,\mathrm{d}y \;=\; g(x)\,\mathrm{d}x.
– Na equação (1) temos
y\,y' = y + x \;\;\Longrightarrow\;\; y' = \frac{y + x}{y} = 1 + \frac{x}{y}.
Isso mistura x e y de modo que não é possível escrever algo como F(y)\,\mathrm{d}y = G(x)\,\mathrm{d}x. Logo, (1) não é de variáveis separáveis.
– Na equação (2) temos
e^{x}\,y' = x\,y \;\;\Longrightarrow\;\; y' = x\,e^{-x}\,y \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{y'}{y} = x\,e^{-x}.
Agora basta reescrever \frac{y'}{y} como \frac{1}{y}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} e separar:
\frac{1}{y}\,\mathrm{d}y \;=\; x\,e^{-x}\,\mathrm{d}x,
o que é exatamente a forma separável. Portanto, (2) é de variáveis separáveis.

Passo 3

Uma equação diferencial de primeira ordem é dita linear se pode ser colocada na forma
a_{1}(x)\,y' + a_{0}(x)\,y = c(x),
ou seja, y e y' aparecem apenas em grau 1 e sem produtos entre si. Caso contrário, é não linear.
– Na equação (1) aparece o termo y\,y', que é produto entre y e y'. Isso impede a forma linear padrão. Logo, (1) é não linear.
– Na equação (2) podemos escrever
e^{x}\,y' - x\,y = 0 \;\Longrightarrow\; y' - \bigl(x\,e^{-x}\bigr)\,y = 0,
que está na forma linear com a_{1}(x)=1, a_{0}(x)=-x\,e^{-x} e c(x)=0. Portanto, (2) é linear.

Resposta

a) Apenas a equação (2) é de variáveis separáveis.
b) Apenas a equação (1) é não linear.

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