Questão 1 (1,0 ponto) Classifique, nos itens a seguir, cada Equação Diferencial Ordinária de acordo com sua ordem e sua linearidade.
(0,25) \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=t \frac{d z}{d t}+2 z

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
\frac{d^{2}z}{dt^{2}} \;=\; t\,\frac{dz}{dt} \;+\; 2\,z
quanto à ordem e quanto à linearidade. Para isso, precisamos lembrar que:
– a ordem de uma EDO é o maior número de vezes que aparece uma derivada de z;
– uma EDO é linear se z e suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções de t (sem produtos entre z e suas derivadas nem termos não lineares como z^2, \sin z etc.).

Passo 2

Identificamos a maior derivada presente na equação: \tfrac{d^{2}z}{dt^{2}}. Logo, a ordem da EDO é
\text{ordem} = 2.

Passo 3

Para verificar a linearidade, escrevemos a equação em forma padrão homogênea:
\frac{d^{2}z}{dt^{2}} \;-\; t\,\frac{dz}{dt} \;-\; 2\,z \;=\;0.
Aqui z, \tfrac{dz}{dt} e \tfrac{d^2z}{dt^2} aparecem apenas multiplicados por funções de t e não há termos não lineares nem produtos entre eles. Portanto, a EDO é linear.

Passo 4

Como não há termo independente (função isolada de t), a equação é também homogênea. Além disso, os coeficientes (como t e -2) dependem de t, caracterizando coeficientes variáveis.

Resposta

Ordem 2; linear homogênea de coeficientes variáveis.

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