De acordo com o Levantamento de Saúde Nacional,
da população de 18 a 24 anos de idade nos Estados Unidos é canhota.
Qual é a probabilidade de que no máximo dois indivíduos sejam canhotos?
Qual é a probabilidade de que no máximo dois indivíduos sejam canhotos?
Passo 1
O enunciado nos dá a informação percentual sobre canhotos e faz uma pergunta curta. Vou listar o que temos e o que é pedido, direitinho (não te iludo com suposições).
- Informação dada: a proporção de canhotos na população é
(ou seja, ). - Pergunta: “Qual é a probabilidade de que no máximo dois indivíduos sejam canhotos?” — isto é, pede-se
, onde é o número de canhotos num certo grupo amostral.
Informação importante que NÃO aparece no enunciado: o tamanho da amostra, isto é, o número de indivíduos
. Sem esse
não é possível calcular um valor numérico específico para
. Portanto, a resposta final será dada em termos de
. Se houver um
específico que tu quisesse (por exemplo
), eu poderia calcular o valor numérico desse caso como exemplo — mas não vou inventar
.
Passo 2
Modelo probabilístico apropriado e porquê.
- Quando temos um número fixo de indivíduos
, cada indivíduo pode ser “canhoto” (sucesso) com probabilidade e “não canhoto” com probabilidade . - Se assumirmos que os indivíduos são independentes (hipótese usual nesses problemas), então o número de canhotos
na amostra de tamanho segue a distribuição binomial com parâmetros e . Escrevemos .
Agora uma mini-aula sobre a distribuição binomial (sem jargões):
- A binomial modela quantas “sucessos” ocorrem em
tentativas independentes, onde cada tentativa tem chance de sucesso. - A função de probabilidade (a probabilidade exata de ocorrerem
sucessos) é
onde
é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras diferentes se pode escolher quais
das
tentativas resultam em sucesso.
- Explicando
: ele vale
onde
(fatorial) é
. Ex.:
.
Passo 3
Expressar a probabilidade pedida em termos da binomial.
- O evento “no máximo dois indivíduos são canhotos” é
. Pela definição de probabilidade discreta:
- Usando a fórmula da binomial para cada termo, obtemos a expressão geral (substituindo
):
Passo 4
Detalhando cada termo e explicando como calcular na prática (para tu conseguir fazer na prova sem pânico).
- Termos explicitados:
- Como calcular sem calculadora (estratégias rápidas na prova):
- Calcular potências de
manualmente pode ser chato; em provas muitas vezes um valor aproximado é aceitável ou a prova dá pequeno. Para pequenos (por exemplo ) dá pra calcular multiplicando repetidamente. - Use a relação
para reaproveitar cálculos. - O coeficiente
surge de e é fácil de calcular manualmente.
- Calcular potências de
Passo 5
Exemplo numérico (opcional) para fixar: se alguém perguntasse com
— só para ver como fica numericamente — o procedimento seria:
- Primeiro calcule
. Usando logaritmos ou aproximação exponencial obtém-se (esta é uma aproximação; em prova de concurso normalmente seriam permitidos cálculos com calculadora ou valores tabelados). - Em seguida:
- Somando:
Isto mostra o método operacional; os números concretos dependem de
.