De acordo com o Levantamento de Saúde Nacional, 9,8 \% da população de 18 a 24 anos de idade nos Estados Unidos é canhota.
Qual é a probabilidade de que no máximo dois indivíduos sejam canhotos?

Passo 1

O enunciado nos dá a informação percentual sobre canhotos e faz uma pergunta curta. Vou listar o que temos e o que é pedido, direitinho (não te iludo com suposições).
  • Informação dada: a proporção de canhotos na população é \,0{,}098 (ou seja, 9{,}8\%).
  • Pergunta: “Qual é a probabilidade de que no máximo dois indivíduos sejam canhotos?” — isto é, pede-se \Pr(X \le 2), onde X é o número de canhotos num certo grupo amostral.
Informação importante que NÃO aparece no enunciado: o tamanho da amostra, isto é, o número de indivíduos \,n. Sem esse \,n não é possível calcular um valor numérico específico para \Pr(X\le2). Portanto, a resposta final será dada em termos de \,n. Se houver um \,n específico que tu quisesse (por exemplo \,n=10), eu poderia calcular o valor numérico desse caso como exemplo — mas não vou inventar \,n.

Passo 2

Modelo probabilístico apropriado e porquê.
  • Quando temos um número fixo de indivíduos \,n, cada indivíduo pode ser “canhoto” (sucesso) com probabilidade \,p=0{,}098 e “não canhoto” com probabilidade \,1-p.
  • Se assumirmos que os indivíduos são independentes (hipótese usual nesses problemas), então o número de canhotos X na amostra de tamanho \,n segue a distribuição binomial com parâmetros \,n e \,p. Escrevemos X \sim \text{Binomial}(n,p).
Agora uma mini-aula sobre a distribuição binomial (sem jargões):
  • A binomial modela quantas “sucessos” ocorrem em \,n tentativas independentes, onde cada tentativa tem chance \,p de sucesso.
  • A função de probabilidade (a probabilidade exata de ocorrerem k sucessos) é
\Pr(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras diferentes se pode escolher quais k das n tentativas resultam em sucesso.
  • Explicando \binom{n}{k}: ele vale
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n\times(n-1)\times\cdots\times1. Ex.: \binom{5}{2}=\dfrac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{2\cdot1\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{20}{2}=10.

Passo 3

Expressar a probabilidade pedida em termos da binomial.
  • O evento “no máximo dois indivíduos são canhotos” é X\le2. Pela definição de probabilidade discreta:
\Pr(X\le2)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1)+\Pr(X=2).
  • Usando a fórmula da binomial para cada termo, obtemos a expressão geral (substituindo p=0{,}098):
\Pr(X\le2)=\sum_{k=0}^{2} \binom{n}{k} (0{,}098)^{k} (1-0{,}098)^{\,n-k}.

Passo 4

Detalhando cada termo e explicando como calcular na prática (para tu conseguir fazer na prova sem pânico).
  • Termos explicitados:
\Pr(X=0)=\binom{n}{0}(0{,}098)^{0}(0{,}902)^{n}=(0{,}902)^{n}.
\Pr(X=1)=\binom{n}{1}(0{,}098)^{1}(0{,}902)^{n-1}=n\cdot(0{,}098)\cdot(0{,}902)^{n-1}.
\Pr(X=2)=\binom{n}{2}(0{,}098)^{2}(0{,}902)^{n-2}=\frac{n(n-1)}{2}\cdot(0{,}098)^{2}\cdot(0{,}902)^{n-2}.
  • Como calcular sem calculadora (estratégias rápidas na prova):
    • Calcular potências de 0{,}902 manualmente pode ser chato; em provas muitas vezes um valor aproximado é aceitável ou a prova dá n pequeno. Para n pequenos (por exemplo \le10) dá pra calcular multiplicando repetidamente.
    • Use a relação (0{,}902)^{n-1}=(0{,}902)^{n}/0{,}902 para reaproveitar cálculos.
    • O coeficiente \dfrac{n(n-1)}{2} surge de \binom{n}{2} e é fácil de calcular manualmente.

Passo 5

Exemplo numérico (opcional) para fixar: se alguém perguntasse com \,n=10 — só para ver como fica numericamente — o procedimento seria:
  • Primeiro calcule (0{,}902)^{10}. Usando logaritmos ou aproximação exponencial obtém-se (0{,}902)^{10}\approx0{,}357 (esta é uma aproximação; em prova de concurso normalmente seriam permitidos cálculos com calculadora ou valores tabelados).
  • Em seguida:
\Pr(X=0)\approx0{,}357,
\Pr(X=1)=10\cdot0{,}098\cdot(0{,}902)^{9}\approx10\cdot0{,}098\cdot0{,}396\approx0{,}388,
\Pr(X=2)=\frac{10\cdot9}{2}\cdot(0{,}098)^{2}\cdot(0{,}902)^{8}\approx45\cdot0{,}009604\cdot0{,}439\approx0{,}190.
  • Somando:
\Pr(X\le2)\approx0{,}357+0{,}388+0{,}190\approx0{,}935.
Isto mostra o método operacional; os números concretos dependem de \,n.

Resposta

\Pr(X\le2)=\sum_{k=0}^{2}\binom{n}{k}(0{,}098)^{k}(1-0{,}098)^{\,n-k}.

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