As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas nos carros que passam por um pedágio são, respectivamente, 0, 05 ; 0,20 ; 0,40 ; 0,25 e 0,10 . Seja \mathrm{X}= número de passageiros por veículo.
(a) Explicite a função de distribuição de probabilidade de X .
(b) Calcule o número médio de passageiros por veículo.
(c) Calcule a variância de passageiros por veículo.

Passo 1

O enunciado dá as probabilidades do número de passageiros por veículo e pede três coisas. Vou listar tudo claramente (peguei estes números do enunciado):
  • A variável aleatória é X = número de passageiros por veículo.
  • As probabilidades fornecidas são:
    • P(X=1)=0,05
    • P(X=2)=0,20
    • P(X=3)=0,40
    • P(X=4)=0,25
    • P(X=5)=0,10
O que o enunciado pede:
(a) Explicitar a função de distribuição de probabilidade de X.
(b) Calcular o número médio de passageiros por veículo (esperança E[X]).
(c) Calcular a variância de passageiros por veículo ( \operatorname{Var}(X)).

Passo 2

O que é a função de distribuição de probabilidade para uma variável discreta? É simplesmente a atribuição de probabilidades a cada valor possível de X. Formalmente, a função massa de probabilidade (pmf) é a regra que dá P(X=x) para cada x no suporte. Devemos também checar a condição básica: as probabilidades devem somar 1.
Vou verificar a soma das probabilidades dadas:
0,05 + 0,20 + 0,40 + 0,25 + 0,10 = 1,00.
Como a soma é 1,00, as probabilidades estão consistentes.
Portanto a função de distribuição de probabilidade é exatamente a lista dos valores fornecidos:
P(X=1)=0,05,\quad P(X=2)=0,20,\quad P(X=3)=0,40,\quad P(X=4)=0,25,\quad P(X=5)=0,10.

Passo 3

O que é a esperança (número médio)? Para uma variável discreta X que toma valores x_i com probabilidades p_i, a esperança é
E[X]=\sum_i x_i p_i,
onde x_i são os valores possíveis e p_i=P(X=x_i). Aqui cada x_i é o número de passageiros e cada p_i é a probabilidade correspondente.
Vou calcular termo a termo:
\begin{aligned} 1\cdot 0,05 &= 0,05,\\\\ 2\cdot 0,20 &= 0,40,\\\\ 3\cdot 0,40 &= 1,20,\\\\ 4\cdot 0,25 &= 1,00,\\\\ 5\cdot 0,10 &= 0,50. \end{aligned}
Somando:
E[X]=0,05+0,40+1,20+1,00+0,50=3,15.
Interpretação: em média há \,3,15 passageiros por veículo (isso é um valor médio teórico; não precisa ser inteiro).

Passo 4

Para calcular a variância uso a fórmula conveniente
\operatorname{Var}(X)=E[X^2] - \bigl(E[X]\bigr)^2,
onde
E[X^2]=\sum_i x_i^2 p_i.
Explico: E[X^2] é a esperança do quadrado de X (soma de x_i^2 vezes p_i). A variância mede a dispersão ao redor da média; a fórmula acima é uma forma prática de calcular.
Vou calcular E[X^2] termo a termo:
\begin{aligned} 1^2\cdot 0,05 &= 1\cdot 0,05 = 0,05,\\\\ 2^2\cdot 0,20 &= 4\cdot 0,20 = 0,80,\\\\ 3^2\cdot 0,40 &= 9\cdot 0,40 = 3,60,\\\\ 4^2\cdot 0,25 &= 16\cdot 0,25 = 4,00,\\\\ 5^2\cdot 0,10 &= 25\cdot 0,10 = 2,50. \end{aligned}
Somando:
E[X^2]=0,05+0,80+3,60+4,00+2,50=10,95.

Passo 5

Agora aplico a fórmula da variância:
\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2.
Substituindo os valores que já calculei ( E[X]=3,15 e E[X^2]=10,95):
\bigl(E[X]\bigr)^2 = (3,15)^2 = 9,9225,
\operatorname{Var}(X)=10,95 - 9,9225 = 1,0275.
Interpretação: a variância é \,1,0275 passageiros ao quadrado; a raiz quadrada dessa quantidade (desvio padrão) seria \sqrt{1,0275} se fosse necessário.

Passo 6

Resumo final dos cálculos (já feito passo a passo):
  • A pmf é a lista dada; verifiquei que soma 1,00.
  • A média (esperança) é E[X]=3,15.
  • A variância é \operatorname{Var}(X)=1,0275.

Resposta

(a) P(X=1)=0,05,\;P(X=2)=0,20,\;P(X=3)=0,40,\;P(X=4)=0,25,\;P(X=5)=0,10
(b) E[X]=3,15
(c) \operatorname{Var}(X)=1,0275

Exercícios relacionados