As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas nos carros que passam por um pedágio são, respectivamente, 0,
e 0,10 . Seja
número de passageiros por veículo.
(a) Explicite a função de distribuição de probabilidade de X .
(b) Calcule o número médio de passageiros por veículo.
(c) Calcule a variância de passageiros por veículo.
(a) Explicite a função de distribuição de probabilidade de X .
(b) Calcule o número médio de passageiros por veículo.
(c) Calcule a variância de passageiros por veículo.
Passo 1
O enunciado dá as probabilidades do número de passageiros por veículo e pede três coisas. Vou listar tudo claramente (peguei estes números do enunciado):
- A variável aleatória é
= número de passageiros por veículo. - As probabilidades fornecidas são:
-
O que o enunciado pede:
(a) Explicitar a função de distribuição de probabilidade de .
(b) Calcular o número médio de passageiros por veículo (esperança ).
(c) Calcular a variância de passageiros por veículo ( ).
(a) Explicitar a função de distribuição de probabilidade de
(b) Calcular o número médio de passageiros por veículo (esperança
(c) Calcular a variância de passageiros por veículo (
Passo 2
O que é a função de distribuição de probabilidade para uma variável discreta? É simplesmente a atribuição de probabilidades a cada valor possível de
. Formalmente, a função massa de probabilidade (pmf) é a regra que dá
para cada
no suporte. Devemos também checar a condição básica: as probabilidades devem somar
.
Vou verificar a soma das probabilidades dadas:
Como a soma é
, as probabilidades estão consistentes.
Portanto a função de distribuição de probabilidade é exatamente a lista dos valores fornecidos:
Passo 3
O que é a esperança (número médio)? Para uma variável discreta
que toma valores
com probabilidades
, a esperança é
onde
são os valores possíveis e
. Aqui cada
é o número de passageiros e cada
é a probabilidade correspondente.
Vou calcular termo a termo:
Somando:
Interpretação: em média há
passageiros por veículo (isso é um valor médio teórico; não precisa ser inteiro).
Passo 4
Para calcular a variância uso a fórmula conveniente
onde
Explico:
é a esperança do quadrado de
(soma de
vezes
). A variância mede a dispersão ao redor da média; a fórmula acima é uma forma prática de calcular.
Vou calcular
termo a termo:
Somando:
Passo 5
Agora aplico a fórmula da variância:
Substituindo os valores que já calculei (
e
):
Interpretação: a variância é
passageiros ao quadrado; a raiz quadrada dessa quantidade (desvio padrão) seria
se fosse necessário.
Passo 6
Resumo final dos cálculos (já feito passo a passo):
- A pmf é a lista dada; verifiquei que soma 1,00.
- A média (esperança) é
. - A variância é
.
Resposta
(a)
(b)
(c)