Dizemos que uma v.a.d. segue o modelo Poisson com parâmetro
se sua função de probabilidade é dada por
É possível mostrar que
. Além disso, a distribuição Poisson é uma aproximação da distribuição Binomial
, para
grande.
Uma situação prática de interesse na qual a distribuição Poisson é empregada diz respeito à desintegração de substâncias radioativas. Considere o urânio
, por exemplo. Cada núcleo de
tem uma probabilidade muito pequena,
de se desintegrar, emitindo uma partícula
, em um segundo. Considere, agora, um número grande
de núcleos e a v.a.
número de núcleos que se desintegram. Admitindo-se que a desintegração de um núcleo não afeta a probabilidade de desintegração de qualquer outro núcleo (independência), a v.a.
tem uma distribuição Binomial, com parâmetros
e
dados anteriormente. Nesse caso, podemos utilizar a aproximação pela Poisson.
Sabendo que em
de
temos aproximadamente
átomos,
. Determine as probabilidades de
nenhum núcleo desintegrar; (ii) de 3 núcleos desintegrarem; (ii) pelo menos 5 núcleos desintegrarem. Para o cálculo das probabilidades associadas a distribuição Poisson, você pode utilizar valores já tabulados. Note que o cálculo utilizando a função de probabilidade da distribuição Binomial ficaria complicado neste caso. Por quê?
nenhum núcleo desintegrar; (ii) de 3 núcleos desintegrarem; (ii) pelo menos 5 núcleos desintegrarem. Para o cálculo das probabilidades associadas a distribuição Poisson, você pode utilizar valores já tabulados. Note que o cálculo utilizando a função de probabilidade da distribuição Binomial ficaria complicado neste caso. Por quê?
Passo 1
O enunciado pede três probabilidades usando a aproximação de Poisson com parâmetro
. As perguntas são:
- (i) a probabilidade de nenhum núcleo desintegrar, isto é
; - (ii) a probabilidade de exatamente 3 núcleos desintegrarem, isto é
; - (iii) a probabilidade de pelo menos 5 núcleos desintegrarem, isto é
.
Informações relevantes dadas:
- A variável aleatória
(número de desintegrações em 1 s) é aproximada por uma Poisson( ) com . - A função de massa de probabilidade da Poisson é
- É permitido usar valores já tabulados ou cálculos manuais simples; aqui eu vou calcular passo a passo sem recorrer a tabelas.
Passo 2
Breve explicação e técnica prática para calcular as probabilidades (aula rápida e truque útil).
- A fórmula da Poisson
dá diretamente qualquer . - Um truque numérico muito útil em prova (para evitar calcular potências e fatoriais grandes) é usar a relação recursiva entre probabilidades consecutivas:
Isso permite começar por
e obter
por multiplicações simples e divisões, sem lidar com
nem com potências grandes.
- Vou usar
e a relação recursiva para calcular . Em seguida calculo .
Passo 3
Calcular
.
- Pela fórmula direta,
.
- Calculando numericamente (usar aproximação de
):
Passo 4
Calcular
usando a relação recursiva (passo a passo, para aprender a aplicar na prova).
- Para
:
Numérico:
- Para
:
Numérico:
- Para
:
Numérico:
- Para
:
Numérico:
Observação didática: esse procedimento evita calcular
e
separadamente; na prova é rápido e seguro numericamente.
Passo 5
Calcular
usando a identidade complementar.
- Primeiro calcular a soma acumulada
:
- Somando (passo a passo):
- Portanto
Passo 6
Explicação final sobre por que a Binomial seria complicada aqui (aula breve e convincente).
- A fórmula Binomial é
. - Com
(extremamente grande) e (extremamente pequeno), os coeficientes binomiais envolvem fatoriais gigantescos e cálculos numéricos impraticáveis manualmente. Mesmo um único termo exige manipular números imensos e produtos com risco de underflow/overflow numérico. - A aproximação de Poisson é adequada exatamente quando
é grande, é pequeno e é moderado — exatamente o caso aqui — e fornece cálculos simples e estáveis (usa apenas expoente e pequenas multiplicações), por isso é a escolha prática e teórica correta.