Dizemos que uma v.a.d. segue o modelo Poisson com parâmetro \lambda se sua função de probabilidade é dada por
p(x)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x!}, \text { se } x=0,1,2, \cdots
É possível mostrar que E[X]=\operatorname{Var}(x)=\lambda. Além disso, a distribuição Poisson é uma aproximação da distribuição Binomial (n, p), para n grande.
Uma situação prática de interesse na qual a distribuição Poisson é empregada diz respeito à desintegração de substâncias radioativas. Considere o urânio 238\left(U^{238}\right), por exemplo. Cada núcleo de U^{238} tem uma probabilidade muito pequena, p= 4,9 \times 10^{-18} de se desintegrar, emitindo uma partícula \alpha, em um segundo. Considere, agora, um número grande n de núcleos e a v.a. X= número de núcleos que se desintegram. Admitindo-se que a desintegração de um núcleo não afeta a probabilidade de desintegração de qualquer outro núcleo (independência), a v.a. X tem uma distribuição Binomial, com parâmetros n e p dados anteriormente. Nesse caso, podemos utilizar a aproximação pela Poisson.
Sabendo que em 0,30 \mathrm{mg} de U^{238} temos aproximadamente n=7,6 \times 10^{17} átomos, \operatorname{logo} \lambda=n p \approx 3,7. Determine as probabilidades de
nenhum núcleo desintegrar; (ii) de 3 núcleos desintegrarem; (ii) pelo menos 5 núcleos desintegrarem. Para o cálculo das probabilidades associadas a distribuição Poisson, você pode utilizar valores já tabulados. Note que o cálculo utilizando a função de probabilidade da distribuição Binomial ficaria complicado neste caso. Por quê?

Passo 1

O enunciado pede três probabilidades usando a aproximação de Poisson com parâmetro \lambda \approx 3{,}7. As perguntas são:
  • (i) a probabilidade de nenhum núcleo desintegrar, isto é \Pr(X=0);
  • (ii) a probabilidade de exatamente 3 núcleos desintegrarem, isto é \Pr(X=3);
  • (iii) a probabilidade de pelo menos 5 núcleos desintegrarem, isto é \Pr(X\ge 5).
Informações relevantes dadas:
  • A variável aleatória X (número de desintegrações em 1 s) é aproximada por uma Poisson( \lambda) com \lambda = n p \approx 3{,}7.
  • A função de massa de probabilidade da Poisson é p(x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{x}}{x!}, \quad x=0,1,2,\dots
  • É permitido usar valores já tabulados ou cálculos manuais simples; aqui eu vou calcular passo a passo sem recorrer a tabelas.

Passo 2

Breve explicação e técnica prática para calcular as probabilidades (aula rápida e truque útil).
  • A fórmula da Poisson \displaystyle p(x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{x}}{x!} dá diretamente qualquer \Pr(X=x).
  • Um truque numérico muito útil em prova (para evitar calcular potências e fatoriais grandes) é usar a relação recursiva entre probabilidades consecutivas:
\Pr(X=k)=\Pr(X=k-1)\cdot\frac{\lambda}{k},\qquad k\ge 1.
Isso permite começar por \Pr(X=0)=e^{-\lambda} e obter \Pr(X=1),\Pr(X=2),\dots por multiplicações simples e divisões, sem lidar com k! nem com potências grandes.
  • Vou usar \lambda=3{,}7 e a relação recursiva para calcular \Pr(X=0),\Pr(X=1),\Pr(X=2),\Pr(X=3),\Pr(X=4). Em seguida calculo \Pr(X\ge5)=1-\Pr(X\le4).

Passo 3

Calcular \Pr(X=0).
  • Pela fórmula direta, \Pr(X=0)=e^{-\lambda}.
\Pr(X=0)=e^{-3{,}7}.
  • Calculando numericamente (usar aproximação de e^{-3{,}7}):
\Pr(X=0)\approx 0{,}024723526.

Passo 4

Calcular \Pr(X=1),\Pr(X=2),\Pr(X=3),\Pr(X=4) usando a relação recursiva (passo a passo, para aprender a aplicar na prova).
  • Para k=1:
\Pr(X=1)=\Pr(X=0)\cdot\frac{\lambda}{1} = e^{-3{,}7}\cdot 3{,}7.
Numérico:
\Pr(X=1)\approx 0{,}024723526\cdot 3{,}7 \approx 0{,}091477048.
  • Para k=2:
\Pr(X=2)=\Pr(X=1)\cdot\frac{\lambda}{2}
Numérico:
\Pr(X=2)\approx 0{,}091477048\cdot\frac{3{,}7}{2} \approx 0{,}169232539.
  • Para k=3:
\Pr(X=3)=\Pr(X=2)\cdot\frac{\lambda}{3}
Numérico:
\Pr(X=3)\approx 0{,}169232539\cdot\frac{3{,}7}{3} \approx 0{,}208719.
  • Para k=4:
\Pr(X=4)=\Pr(X=3)\cdot\frac{\lambda}{4}
Numérico:
\Pr(X=4)\approx 0{,}208719\cdot\frac{3{,}7}{4} \approx 0{,}193065075.
Observação didática: esse procedimento evita calcular \lambda^k e k! separadamente; na prova é rápido e seguro numericamente.

Passo 5

Calcular \Pr(X\ge 5) usando a identidade complementar.
  • Primeiro calcular a soma acumulada \Pr(X\le4)=\sum_{k=0}^{4}\Pr(X=k):
\Pr(X\le4)\approx 0{,}024723526 + 0{,}091477048 + 0{,}169232539 + 0{,}208719 + 0{,}193065075.
  • Somando (passo a passo):
0{,}024723526 + 0{,}091477048 = 0{,}116200574,
0{,}116200574 + 0{,}169232539 = 0{,}285433113,
0{,}285433113 + 0{,}208719 = 0{,}494152113,
0{,}494152113 + 0{,}193065075 = 0{,}687217188.
  • Portanto
\Pr(X\ge5)=1-\Pr(X\le4)\approx 1-0{,}687217188 \approx 0{,}312782812.

Passo 6

Explicação final sobre por que a Binomial seria complicada aqui (aula breve e convincente).
  • A fórmula Binomial é \displaystyle \Pr(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}.
  • Com n\approx 7{,}6\times 10^{17} (extremamente grande) e p\approx 4{,}9\times 10^{-18} (extremamente pequeno), os coeficientes binomiais \binom{n}{k} envolvem fatoriais gigantescos e cálculos numéricos impraticáveis manualmente. Mesmo um único termo exige manipular números imensos e produtos com risco de underflow/overflow numérico.
  • A aproximação de Poisson é adequada exatamente quando n é grande, p é pequeno e \lambda=np é moderado — exatamente o caso aqui — e fornece cálculos simples e estáveis (usa apenas expoente e pequenas multiplicações), por isso é a escolha prática e teórica correta.

Resposta

\Pr(X=0)\approx 0{,}024723526
\Pr(X=3)\approx 0{,}208719
\Pr(X\ge 5)\approx 0{,}312782812

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