De acordo com um modelo desenvolvido por um grupo de saúde pública, o número de animais N(t), em milhares, que estarão doentes devido uma gripe no tempo t, em meses, no próximo inverno é descrito por N(t)=100+30 t-10 t^2, sendo t=0 o início de junho. Quando a gripe atingirá seu pico? Quantos animais estarão afetados? Esboce o gráfico de N e destaque o ponto extremo.

Passo 1

O enunciado nos dá o número de animais doentes em milhares como função do tempo em meses contado a partir de junho:
N(t)=100 + 30,t - 10,t^2
Isso é uma parábola (função quadrática) com coeficiente de t^2 negativo, o que implica que ela tem um máximo. Para encontrar quando a gripe atinge o pico e quantos animais estarão doentes, vamos usar a fórmula do vértice de uma parábola.

Passo 2

Escrevendo os coeficientes da forma geral N(t)=a,t^2+b,t+c, temos
a = -10, b = 30, c = 100
Como a<0, a parábola abre para baixo e o vértice dá o ponto de máximo. A abscissa do vértice é dada por
tv = -b2a

Passo 3

Calculemos o instante do pico:
tv = -302cdot(-10) = -30-20 = 1,5
Ou seja, 1,5 meses após o início de junho, isto é, em meados de julho.

Passo 4

Agora determinamos o valor máximo N(tv):
N(1,5)=100 + 30cdot1,5 - 10cdot(1,5)^2 =100 + 45 - 22,5 =122,5
Logo, estarão doentes 122,5 milhares de animais.

Passo 5

Esboço do gráfico de N(t) no intervalo relevante 0 <= t <= 5 (pois N(5) = 0):
c N(t) uparrow 130 | ast | / 120 | / | / 100 | / t (1,55)
Neste esboço:
  • Em t=0, N=100.
  • Em t=5, N=0.
  • O vértice (marcado por “*”) está em (1,5; 122,5), ponto de máximo.

Resposta

O pico da gripe ocorre em t=1,5 meses após o início de junho (meados de julho), com N=122,5 milhares de animais doentes.

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