A função P(t)=10+100 tt^2+9, t >= 0 descreve o número de indivíduos de um certo tipo de pássaro que foi introduzido numa ilha norte americana.
Inicialmente a população cresce ou decresce?

Passo 1

O enunciado apresenta a função de população
P(t)=10+100,tt^2+9, t>=0,
e pergunta se, a partir de t=0, a população aumenta ou diminui. Para isso vamos investigar o sinal da taxa de variação inicial, ou seja, da derivada P'(t) em t=0.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de
100,tt^2+9
Usando a regra do quociente, se u(t)=t e v(t)=t^2+9, então
gl(uvgr)'=u',v-u,v'v^2 =1cdot(t^2+9)-tcdot(2t)(t^2+9)^2 =t^2+9-2t^2(t^2+9)^2 =9-t^2(t^2+9)^2
Multiplicando por 100, obtemos
P'(t)=100cdot9-t^2(t^2+9)^2

Passo 3

Agora avaliamos P'(t) em t=0:
P'(0)=100cdot9-0^2(0^2+9)^2 =100cdot99^2 =100cdot981 =90081>0

Passo 4

Como P'(0)>0, a taxa de variação inicial é positiva, o que significa que, a partir de t=0, a população cresce.

Resposta

A população cresce inicialmente.

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