Calcule integralgamma 2 y d x+z d y+x d y em que gamma é a interseção das superfícies x^2+4 y^2=1 e x^2+z^2=1, y >= 0 e z >= 0, sendo o sentido de percurso do ponto ( 1,0,0 ) para o ponto (-1,0,0).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralgamma2y,dx + z,dy + x,dz
ao longo da curva gamma que é a interseção de
x^2 + 4y^2 = 1, x^2 + z^2 = 1
com y>=0, z>=0, no sentido do ponto (1,0,0) até (-1,0,0).
Vamos parametrizar essa curva e então calcular diretamente.

Passo 2

Das duas equações surge
4y^2 = z^2 Longrightarrow z = 2y, y>=0,;z>=0
Substituindo em x^2+4y^2=1 obtemos
x^2 + 4y^2 = 1,
que sugere a parametrização
x = costheta, 2y = sintheta;Longrightarrow;y=tfrac12sintheta, z=2y=sintheta,
com theta variando de 0 a pi para ir de (1,0,0) a (-1,0,0).

Passo 3

Da parametrização
r(theta) = l(costheta,;tfrac12sintheta,;sinthetar),
temos
dx = -sintheta,dtheta, dy = tfrac12costheta,dtheta, dz = costheta,dtheta
Substituindo em 2y,dx + z,dy + x,dz:
2y,dx = 2l(tfrac12sinthetar)(-sintheta,dtheta) = -sin^2theta,dtheta,
z,dy = sinthetacdottfrac12costheta,dtheta = tfrac12sinthetacostheta,dtheta,
x,dz = costhetacdotcostheta,dtheta = cos^2theta,dtheta
Somando,
2y,dx + z,dy + x,dz = l(-sin^2theta + tfrac12sinthetacostheta + cos^2thetar)dtheta

Passo 4

Reescrevendo -sin^2theta+cos^2theta=cos2theta e sinthetacostheta=tfrac12sin2theta, o integrando fica
cos2theta + 14sin2theta
Logo
I = integral0^pil(cos2theta + tfrac14sin2thetar)dtheta = l[tfrac12sin2theta - tfrac18cos2thetar]0^pi
Em theta=pi e theta=0 ambos sin2theta=0 e cos2theta=1, daí
I = l(0 - tfrac18r) - l(0 - tfrac18r) = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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