A quantidade de um produto químico de controle de pragas depois de t horas aplicado em um local afetado é dada por q(t)=120(e^-0.2 t-e^-t). Determine em que tempo t ocorre o máximo.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de quantidade de produto químico
q(t) = 120l(e^-0.2t - e^-tr)
aplicado em um local, e pede para determinar o instante t em que essa quantidade atinge o valor máximo.
Conteúdo: aplicação de derivadas para encontrar máximos de funções. Vamos calcular q'(t), achar os pontos críticos e verificar qual deles é máximo.

Passo 2

Calculamos a derivada de q(t). Lembrando que tfracddte^at=a,e^at, temos
q'(t) =120l(-0.2,e^-0.2t -(-1),e^-tr) =120l(-0.2,e^-0.2t+e^-tr)

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos q'(t)=0:
-0.2,e^-0.2t + e^-t = 0 Longrightarrow e^-t = 0.2,e^-0.2t
Dividindo por e^-0.2t, vem
e^-t+0.2t = 0.2 Longrightarrow e^-0.8t = 0.2
Tomando o logaritmo natural,
-0.8t = ln(0.2) Longrightarrow t = -ln(0.2)0.8

Passo 4

Como ln(0.2)=-ln(5), concluímos
t = ln(5)0.8
Para confirmar que é máximo, note que a segunda derivada
q''(t)=120l((0.2)^2e^-0.2t-e^-tr)
é negativa em t=ln(5)/0.8, garantindo máximo local.

Passo 5

Calculando numericamente,
t = ln(5)0.8approx 1,60940.8approx 2,01 (horas)

Resposta

t = ln(5)0.8approx 2,01 horas

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