Mostre que uma caixa retangular com tampa e volume
terá a menor área de superficie se for cúbica. Não use o método dos multiplicadores de Lagrange para resolver esse exercício.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, entre todas as caixas retangulares fechadas (com tampa) que têm um mesmo volume fixo
, a que tem menor área de superfície é a que é cúbica. Informações relevantes fornecidas ou implícitas:
- A caixa é retangular com arestas de comprimentos positivos
, e . - O volume da caixa é fixo e igual a
, ou seja . - A área de superfície é a área total das seis faces (caixa fechada com tampa) e deve ser minimizada sob a restrição do volume fixo.
Passo 2
Definimos as variáveis e escrevemos as fórmulas básicas (explicando o porquê de cada termo).
- Seja
os comprimentos das arestas (comprimento, largura e altura). - O volume é a multiplicação das três dimensões:
- A área de superfície de uma caixa retangular fechada (com tampa) é a soma das áreas das seis faces: duas faces
, duas faces e duas faces . Logo:
Nosso objetivo é mostrar que
é mínimo quando
.
Passo 3
Transformação conveniente: para aplicar uma desigualdade clássica, introduzimos as três quantidades positivas
Observações importantes sobre
:
- Cada uma dessas é a área de uma das três faces distintas da caixa.
- O produto dessas três quantidades é
- Em termos de
a área total vale
Portanto, minimizar
é equivalente a minimizar
sujeito à restrição
e
.
Passo 4
Apresentação e explicação da ferramenta principal: desigualdade AM-GM para três números.
- A desigualdade aritmética-geométrica (AM-GM) para três números positivos diz que, para
,
com igualdade se, e somente se,
.
- Intuição simples: a média aritmética não é menor que a média geométrica; quando os números são todos iguais, as duas médias coincidem.
- Pequena justificativa (uma maneira usual): a desigualdade pode ser obtida aplicando AM-GM para pares repetidamente ou tomando log e usando convexidade, mas aqui aceitamos o enunciado padrão da AM-GM porque é uma ferramenta básica que você deve conhecer para provas rápidas.
Passo 5
Aplicação da AM-GM às variáveis
.
- Aplicando AM-GM a
temos
- Como já vimos
, segue
- Multiplicando por
e lembrando que , obtemos
e portanto
- Conclusão parcial: a área
não pode ser menor que . Assim é um limite inferior para .
Passo 6
Condições de igualdade e determinação das dimensões que atingem o mínimo.
- A igualdade na AM-GM ocorre se, e somente se,
. Logo, para que alcance o valor mínimo precisamos ter
- Recordando as definições,
. Se e , então, como , dividindo a igualdade por dá . De maneira análoga obtemos . Portanto . - Usando a restrição do volume
e concluímos
e então as três arestas são iguais a
. Isto significa que a caixa é um cubo de aresta
.
- Substituindo em
encontramos a área mínima:
Passo 7
Interpretação final e comentário pedagógico.
- Resumo: usando a AM-GM aplicada às áreas das três faces distintas conseguimos mostrar que a soma das áreas das faces (e portanto a área total) tem uma cota inferior fixa em função do volume. A igualdade é atingida exatamente quando todas as arestas são iguais, isto é, quando a caixa é cúbica.
- Dica para prova: este é um padrão recorrente — quando há uma condição de produto fixo e queremos minimizar uma soma simétrica, a AM-GM é uma ferramenta rápida e elegante (em vez de Lagrange), porque força as quantidades a serem iguais no caso ótimo.
Resposta
A menor área de superfície é
, obtida quando a caixa é cúbica com arestas
.