Mostre que uma caixa retangular com tampa e volume P terá a menor área de superficie se for cúbica. Não use o método dos multiplicadores de Lagrange para resolver esse exercício.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, entre todas as caixas retangulares fechadas (com tampa) que têm um mesmo volume fixo P, a que tem menor área de superfície é a que é cúbica. Informações relevantes fornecidas ou implícitas:
  • A caixa é retangular com arestas de comprimentos positivos x, y e z.
  • O volume da caixa é fixo e igual a P, ou seja \;xyz=P\;.
  • A área de superfície é a área total das seis faces (caixa fechada com tampa) e deve ser minimizada sob a restrição do volume fixo.

Passo 2

Definimos as variáveis e escrevemos as fórmulas básicas (explicando o porquê de cada termo).
  • Seja \;x>0,\;y>0,\;z>0\; os comprimentos das arestas (comprimento, largura e altura).
  • O volume é a multiplicação das três dimensões:
xyz=P.
  • A área de superfície de uma caixa retangular fechada (com tampa) é a soma das áreas das seis faces: duas faces xy, duas faces xz e duas faces yz. Logo:
S=2(xy+xz+yz).
Nosso objetivo é mostrar que S é mínimo quando x=y=z.

Passo 3

Transformação conveniente: para aplicar uma desigualdade clássica, introduzimos as três quantidades positivas
a=xy,\qquad b=xz,\qquad c=yz.
Observações importantes sobre a,b,c:
  • Cada uma dessas é a área de uma das três faces distintas da caixa.
  • O produto dessas três quantidades é
abc=(xy)(xz)(yz)=x^2y^2z^2=(xyz)^2=P^2.
  • Em termos de a,b,c a área total vale
S=2(a+b+c).
Portanto, minimizar S é equivalente a minimizar a+b+c sujeito à restrição abc=P^2 e a,b,c>0.

Passo 4

Apresentação e explicação da ferramenta principal: desigualdade AM-GM para três números.
  • A desigualdade aritmética-geométrica (AM-GM) para três números positivos diz que, para u,v,w>0,
\frac{u+v+w}{3}\ge (uvw)^{1/3},
com igualdade se, e somente se, u=v=w.
  • Intuição simples: a média aritmética não é menor que a média geométrica; quando os números são todos iguais, as duas médias coincidem.
  • Pequena justificativa (uma maneira usual): a desigualdade pode ser obtida aplicando AM-GM para pares repetidamente ou tomando log e usando convexidade, mas aqui aceitamos o enunciado padrão da AM-GM porque é uma ferramenta básica que você deve conhecer para provas rápidas.

Passo 5

Aplicação da AM-GM às variáveis a,b,c.
  • Aplicando AM-GM a a,b,c>0 temos
\frac{a+b+c}{3}\ge(abc)^{1/3}.
  • Como já vimos abc=P^2, segue
\frac{a+b+c}{3}\ge (P^2)^{1/3}=P^{2/3}.
  • Multiplicando por 3 e lembrando que S=2(a+b+c), obtemos
a+b+c\ge 3P^{2/3}
e portanto
S=2(a+b+c)\ge 2\cdot 3P^{2/3}=6P^{2/3}.
  • Conclusão parcial: a área S não pode ser menor que 6P^{2/3}. Assim 6P^{2/3} é um limite inferior para S.

Passo 6

Condições de igualdade e determinação das dimensões que atingem o mínimo.
  • A igualdade na AM-GM ocorre se, e somente se, a=b=c. Logo, para que S alcance o valor mínimo 6P^{2/3} precisamos ter
a=b=c.
  • Recordando as definições, a=xy,\;b=xz,\;c=yz. Se xy=xz e xy=yz, então, como x>0, dividindo a igualdade xy=xz por x y=z. De maneira análoga obtemos x=y. Portanto x=y=z.
  • Usando a restrição do volume xyz=P e x=y=z concluímos
x^3=P\quad\Rightarrow\quad x=P^{1/3},
e então as três arestas são iguais a P^{1/3}. Isto significa que a caixa é um cubo de aresta P^{1/3}.
  • Substituindo em S encontramos a área mínima:
S_{\min}=2\big(3\cdot (P^{1/3}\cdot P^{1/3})\big)=2\cdot 3\cdot P^{2/3}=6P^{2/3}.

Passo 7

Interpretação final e comentário pedagógico.
  • Resumo: usando a AM-GM aplicada às áreas das três faces distintas conseguimos mostrar que a soma das áreas das faces (e portanto a área total) tem uma cota inferior fixa em função do volume. A igualdade é atingida exatamente quando todas as arestas são iguais, isto é, quando a caixa é cúbica.
  • Dica para prova: este é um padrão recorrente — quando há uma condição de produto fixo e queremos minimizar uma soma simétrica, a AM-GM é uma ferramenta rápida e elegante (em vez de Lagrange), porque força as quantidades a serem iguais no caso ótimo.

Resposta

A menor área de superfície é 6P^{2/3}, obtida quando a caixa é cúbica com arestas x=y=z=P^{1/3}.

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