De acordo com as respostas ao impulso representadas abaixo, quais delas correspondem a sistemas BIBO estáveis?
a) h1[n]=n cos (pi4 n) u[n]
b) h1[n]=3^n u[-n+10]
c) h1(t)=e^-(1-2 j) t u(t)
d) h1(t)=e^-t cos (2 t) u(t)

Passo 1

O enunciado apresenta quatro respostas ao impulso: duas no tempo discreto,
h1[n]=ncosl(tfracpi4nr)u[n] e
h2[n]=3^nu[-n+10],
e duas no tempo contínuo,
h3(t)=e^-(1-2j)tu(t) e
h4(t)=e^-tcos(2t),u(t).
A pergunta é quais desses sistemas são BIBO estáveis, ou seja, têm resposta ao impulso absolutamente somável (discreto) ou absolutamente integrável (contínuo).

Passo 2

Um sistema discreto é BIBO estável se e somente se
sumn=-infty^inftyl|h[n]r|<infty
Um sistema contínuo é BIBO estável se e somente se
integral-infty^inftyl|h(t)r|,dt<infty

Passo 3

Para h1[n]=ncosl(tfracpi4nr)u[n], temos para n>=0
l|h1[n]r|=nl|cos(tfracpi4n)r|<= n.
Logo
sumn=0^inftyl|h1[n]r|>=sumn=0^inftyn=infty,
ou seja, diverge e o sistema não é BIBO estável.

Passo 4

Para h2[n]=3^nu[-n+10], a unidade de passo u[-n+10] vale 1 para n<=10 e zero para n>10. Então
sumn=-infty^inftyl|h2[n]r| =sumn=-infty^103^n =3^10sumk=0^inftyl(tfrac13r)^k =3^101-tfrac13<infty
Portanto esse sistema é BIBO estável.

Passo 5

Para h3(t)=e^-(1-2j)tu(t) escrevemos
h3(t)=e^-te^j2tu(t),
logo
l|h3(t)r|=e^-tu(t) e
integral-infty^inftyl|h3(t)r|,dt =integral0^inftye^-t,dt=1<infty
Assim, é BIBO estável.

Passo 6

Para h4(t)=e^-tcos(2t),u(t) temos
l|h4(t)r|=l|e^-tcos(2t)r|u(t)<= e^-tu(t),
portanto
integral-infty^inftyl|h4(t)r|,dt <=integral0^inftye^-t,dt=1<infty,
logo também é BIBO estável.

Passo 7

Dos quatro casos, apenas o item (a) falha na condição de somabilidade/integrabilidade. Os demais são BIBO estáveis.

Resposta

b), c) e d) são sistemas BIBO estáveis.

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