Para cada um dos pares de funções a seguir, use a integral de convolução para encontrar a resposta y(t) do sistema LIT com resposta ao impulso h(t) para entrada x(t). Esboce os resultados.
x(t)=u(t)-2 u(t-2)+u(t-5), h(t)=e^2 t u(1-t)

Passo 1

O enunciado pede a saída y(t) de um sistema LIT cuja resposta ao impulso é
h(t)=e^2t,u(1-t)
quando a entrada é
x(t)=u(t)-2,u(t-2)+u(t-5)
O conteúdo-chave é usar a definição de convolução
y(t)=(x*h)(t)=integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau,
levando em conta os suportes de x(t) e h(t).

Passo 2

Primeiro identificamos os suportes:
  • , ou seja .
Assim os limites de integração ficam
e

Passo 3

Os limites mudam quando t-1 cruza 0,2,5 e quando t cruza 0,5. Isso gera as faixas:
t<0;; 0<= t<1;; 1<= t<2;; 2<= t<3;; 3<= t<5;; 5<= t<6;; t>=6

Passo 4

Em cada faixa calcula-se a integral sabendo que x(tau)=1 para tau<2 e -1 para 2<= tau<5. Os resultados são:
1. Para t<0 ou t>=6, não há integração válida, logo
y(t)=0
2. Para 0<= t<1, integra-se de tau=0 até tau=t com x(tau)=1:
y(t) =integral0^te^2(t-tau),dtau =tfrac12l(e^2t-1r)
3. Para 1<= t<2, integra-se de tau=t-1 até tau=t com x(tau)=1:
y(t) =integralt-1^te^2(t-tau),dtau =tfrac12l(e^2-1r)
4. Para 2<= t<3, o intervalo [taumin,taumax]=[t-1,,t] cruza tau=2. Fazendo duas integrais (de t-1 a 2 com x=1 e de 2 a t com x=-1) obtém-se
y(t) =tfrac12l(e^2+1-2,e^2t-4r)
5. Para 3<= t<5, todo tauin[t-1,t] cai em [2,5) onde x(tau)=-1, então
y(t) =-tfrac12l(e^2-1r)
6. Para 5<= t<6, integra-se de tau=t-1 até tau=5 com x(tau)=-1:
y(t) =tfrac12l(e^2t-10-e^2r)

Resposta

O resultado final é
y(t)= 0, & t<0,[6pt] tfrac12l(e^2t-1r), & 0<= t<1,[6pt] tfrac12l(e^2-1r), & 1<= t<2,[6pt] tfrac12l(e^2+1-2e^2t-4r), & 2<= t<3,[6pt] -tfrac12l(e^2-1r), & 3<= t<5,[6pt] tfrac12l(e^2t-10-e^2r), & 5<= t<6,[6pt] 0, & t>=6
O esboço de y(t) é uma sequência de trechos exponenciais e constantes conforme essas regiões.]

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