Para cada um dos pares de funções a seguir, use a integral de convolução para encontrar a resposta y(t) do sistema LIT com resposta ao impulso h(t) para entrada x(t). Esboce os resultados.
x(t)=e^-alpha t u(t), h(t)=e^-beta t u(t)
Obs: Calcule quando alpha neq beta e quando alpha=beta.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a saída y(t) de um sistema LIT cuja resposta ao impulso é
h(t)=e^-beta tu(t)
quando a entrada é
x(t)=e^-alpha tu(t)
Vamos usar a definição de convolução de sinais contínuos, lembrando que ambos os sinais valem zero para t<0.

Passo 2

Escrevemos a integral de convolução restringida ao intervalo em que ambos os sinais são diferentes de zero, ou seja, de 0 a t:
y(t)=integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau =integral0^te^-alpha tau,e^-beta (t-tau),dtau
Fatoramos e^-beta t:
y(t)=e^-beta tintegral0^te^-(alpha-beta)tau,dtau
Para alphaneqbeta, calculamos
integral0^te^-(alpha-beta)tau,dtau =1 - e^-(alpha-beta)talpha-beta,
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y(t) =e^-beta t,1 - e^-(alpha-beta)talpha-beta =e^-beta t-e^-alpha talpha-beta,u(t)

Passo 3

No caso alpha=beta, o integrando vira e^0cdottau=1 e
integral0^t1,dtau = t,
portanto
y(t)=e^-alpha t,t;u(t)

Passo 4

Esboço qualitativo de y(t):
  • Para t<0, y(t)=0.
  • Se alphaneqbeta, y(t) é a diferença de duas exponenciais que cresce a partir de zero, atinge um pico e depois decai exponencialmente.
  • Se alpha=beta, y(t)=t,e^-alpha tu(t) começa em zero com inclinação positiva e depois decai por e^-alpha t.

Resposta

Se alphaneqbeta: y(t)=e^-beta t-e^-alpha talpha-beta,u(t)
Se alpha=beta: y(t)=t,e^-alpha t,u(t)

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