Considere as respostas ao impulso de sistemas LIT abaixo, determine se cada um dos sistemas é causal e estável. Justifique suas respostas.
h[n]=(15)^n u[n]

Passo 1

O enunciado nos dá a resposta ao impulso
h[n]=l(tfrac15r)^nu[n]
e pede para verificar duas propriedades de sistemas LTI:
  • Causalidade: um sistema LTI é causal se e somente se h[n]=0 para todo n<0.
  • Estabilidade (BIBO): um sistema LTI é estável se e somente se
sumn=-infty^inftyl|h[n]r|<infty

Passo 2

Verificação de causalidade.
Como temos o fator u[n], que vale zero para n<0, segue que
h[n]=l(tfrac15r)^nu[n]=0para todo n<0
Logo o sistema é causal.

Passo 3

Verificação de estabilidade.
Para testar BIBO, calculamos
sumn=-infty^inftyl|h[n]r| =sumn=0^inftyl|l(tfrac15r)^nr| =sumn=0^inftyl(tfrac15r)^n
Essa é uma série geométrica com razão r=tfrac15, cujo somatório é
sumn=0^inftyr^n=11-r =11-tfrac15 =1tfrac45 =tfrac54<infty
Como a soma absoluta converge, o sistema é estável.

Resposta

O sistema com h[n]=l(tfrac15r)^nu[n] é causal e estável.

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