De acordo com o Teorema 2.3.1, as equações de Lagrange não se alteram pela substituição da lagrangiana L(q, \dot{q}, t) por \bar{L}(q, \dot{q}, t)=L(q, \dot{q}, t)+d f(q, t) / d t, onde f(q, t) é uma função arbitrária. Prove que esta transformação é canônica e encontre uma função geradora.

Passo 1

O enunciado diz que, se trocarmos a lagrangiana \displaystyle L(q,\dot q,t)
por \displaystyle \bar L(q,\dot q,t)=L(q,\dot q,t)+\frac{d\,f(q,t)}{dt},
as equações de Lagrange não mudam. Queremos mostrar que essa mudança equivale a uma transformação canônica no formalismo hamiltoniano e encontrar a sua função geradora.

Passo 2

Começamos passando ao formalismo hamiltoniano. Definimos o momento canônico original \displaystyle p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}.
Para a nova lagrangiana \bar L temos
\bar p_i =\frac{\partial \bar L}{\partial\dot q_i} =\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} +\frac{\partial}{\partial\dot q_i}\Bigl(\frac{d f}{dt}\Bigr) =p_i+\frac{\partial f}{\partial q_i},
pois
\frac{d f}{dt} =\sum_j\frac{\partial f}{\partial q_j}\,\dot q_j +\frac{\partial f}{\partial t}.

Passo 3

Agora calculamos o novo hamiltoniano \bar H. Por definição de Legendre:
\bar H =\sum_i\dot q_i\,\bar p_i-\bar L =\sum_i\dot q_i\bigl(p_i+\tfrac{\partial f}{\partial q_i}\bigr) -\Bigl(L+\tfrac{d f}{dt}\Bigr).
Reagrupando termos e lembrando que \sum_i\dot q_i\,p_i - L = H,
vemos que
\bar H = H + \frac{\partial f}{\partial t}.

Passo 4

Identificamos a transformação de coordenadas canônicas
Q_i = q_i, \qquad P_i = \bar p_i = p_i + \frac{\partial f}{\partial q_i}.
Essa é a transformação gerada pela adição de d f/dt na lagrangiana.

Passo 5

Para mostrar que é canônica e encontrar a função geradora, escolhemos um gerador do tipo F_2(q,P,t). Queremos \displaystyle p_i=\frac{\partial F_2}{\partial q_i}
e \displaystyle Q_i=\frac{\partial F_2}{\partial P_i}.
Definimos então
F_2(q,P,t) =\sum_i q_i\,P_i \;-\; f(q,t).
Com isso temos
\frac{\partial F_2}{\partial q_i} =P_i-\frac{\partial f}{\partial q_i} \;\Rightarrow\; p_i=P_i-\frac{\partial f}{\partial q_i} \;\Longrightarrow\; P_i=p_i+\frac{\partial f}{\partial q_i},
e
\frac{\partial F_2}{\partial P_i} =q_i \;\Longrightarrow\; Q_i=q_i,
como queríamos.

Passo 6

Verificamos ainda que o novo hamiltoniano no par (Q,P) fica
\bar H(Q,P,t) =H(q,p,t)+\frac{\partial F_2}{\partial t} =H(q,p,t)+\Bigl(-\frac{\partial f}{\partial t}\Bigr) =H+\frac{\partial f}{\partial t},
coerente com o que obtivemos antes.

Resposta

A transformação
Q_i=q_i, \quad P_i=p_i+\frac{\partial f(q,t)}{\partial q_i}
é canônica.
Uma função geradora adequada é
F_2(q,P,t)=\sum_i q_i\,P_i - f(q,t).

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