De acordo com o Teorema 2.3.1, as equações de Lagrange não se alteram pela substituição da lagrangiana
por
, onde
é uma função arbitrária. Prove que esta transformação é canônica e encontre uma função geradora.
Passo 1
O enunciado diz que, se trocarmos a lagrangiana
por ,
as equações de Lagrange não mudam. Queremos mostrar que essa mudança equivale a uma transformação canônica no formalismo hamiltoniano e encontrar a sua função geradora.
por
as equações de Lagrange não mudam. Queremos mostrar que essa mudança equivale a uma transformação canônica no formalismo hamiltoniano e encontrar a sua função geradora.
Passo 2
Começamos passando ao formalismo hamiltoniano. Definimos o momento canônico original
.
Para a nova lagrangiana temos
Para a nova lagrangiana
pois
Passo 3
Agora calculamos o novo hamiltoniano
. Por definição de Legendre:
Reagrupando termos e lembrando que
,
vemos que
vemos que
Passo 4
Identificamos a transformação de coordenadas canônicas
Essa é a transformação gerada pela adição de
na lagrangiana.
Passo 5
Para mostrar que é canônica e encontrar a função geradora, escolhemos um gerador do tipo
. Queremos
e .
Definimos então
e
Definimos então
Com isso temos
e
como queríamos.
Passo 6
Verificamos ainda que o novo hamiltoniano no par
fica
coerente com o que obtivemos antes.
Resposta
A transformação
é canônica.
Uma função geradora adequada é
Uma função geradora adequada é