Um sistcma com um grau de liberdade é descrito pela hamiltoniana
onde
é uma constante,
e
sendo funções dadas. Encontre uma transformação canônica que reduza esta hamiltoniana à de uma partícula de massa unitária sujeita a uma força constante. Resolva as equações de Hamilton transformadas e mostre que o movimento do sistema em termos da variável original
é
, onde
e
são constantes arbitrárias e
é a função inversa de
.
Passo 1
O enunciado dá a Hamiltoniana de um sistema unidimensional
onde
é constante e
,
são funções conhecidas. O objetivo é achar uma transformação canônica que leve
à forma
que é a Hamiltoniana de uma partícula de massa
sob força constante, resolver as equações de Hamilton nesse novo par
e então voltar a
.
Passo 2
Proponho usar um gerador do tipo
que faça
Escolho
Então
de onde isolamos
Passo 3
Substituindo em
achamos
Portanto no par
a Hamiltoniana fica
Passo 4
Escrevemos as equações de Hamilton para
:
Integrando
dá
onde
é constante. Em seguida,
leva a
onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Voltando a variável original
, lembramos que
. Logo
e portanto