Um sistcma com um grau de liberdade é descrito pela hamiltoniana
H=\frac{[p-g(q)]^{2}}{2 f^{\prime}(q)^{2}}-k f(q)
onde k é uma constante, f e g sendo funções dadas. Encontre uma transformação canônica que reduza esta hamiltoniana à de uma partícula de massa unitária sujeita a uma força constante. Resolva as equações de Hamilton transformadas e mostre que o movimento do sistema em termos da variável original q é q(t)=f^{-1}\left(a+b t+k t^{2} / 2\right), onde a e b são constantes arbitrárias e f^{-1} é a função inversa de f.

Passo 1

O enunciado dá a Hamiltoniana de um sistema unidimensional
H(q,p)=\frac{\bigl[p - g(q)\bigr]^{2}}{2\,f'(q)^{2}} \;-\; k\,f(q),
onde k é constante e f, g são funções conhecidas. O objetivo é achar uma transformação canônica que leve H à forma
\tilde H(Q,P)=\frac{P^{2}}{2}-k\,Q,
que é a Hamiltoniana de uma partícula de massa 1 sob força constante, resolver as equações de Hamilton nesse novo par (Q,P) e então voltar a q(t).

Passo 2

Proponho usar um gerador do tipo F_{2}(q,P) que faça
Q = \frac{\partial F_{2}}{\partial P}, \qquad p = \frac{\partial F_{2}}{\partial q}.
Escolho
F_{2}(q,P)=f(q)\,P \;+\;\int^{\,q} g(s)\,\mathrm{d}s.
Então
Q=\frac{\partial F_{2}}{\partial P}=f(q),
p=\frac{\partial F_{2}}{\partial q}=f'(q)\,P \;+\; g(q),
de onde isolamos
P=\frac{p - g(q)}{f'(q)}.

Passo 3

Substituindo em H(q,p) achamos
H=\frac{\bigl[f'(q)\,P\bigr]^{2}}{2\,f'(q)^{2}} - k\,f(q) =\frac{P^{2}}{2}-k\,Q.
Portanto no par (Q,P) a Hamiltoniana fica
\tilde H(Q,P)=\frac{P^{2}}{2}-k\,Q.

Passo 4

Escrevemos as equações de Hamilton para \tilde H:
\dot Q=\frac{\partial \tilde H}{\partial P}=P, \qquad \dot P=-\frac{\partial \tilde H}{\partial Q}=k.
Integrando \dot P=k
P(t)=b + k\,t,
onde b=P(0) é constante. Em seguida, \dot Q=P(t) leva a
Q(t)=a + b\,t + \frac{k}{2}\,t^{2},
onde a=Q(0) é outra constante de integração.

Passo 5

Voltando a variável original q, lembramos que Q=f(q). Logo
f\bigl(q(t)\bigr)=a + b\,t + \frac{k}{2}\,t^{2}
e portanto
q(t)=f^{-1}\!\Bigl(a + b\,t + \tfrac{k}{2}\,t^{2}\Bigr).

Resposta

q(t)=f^{-1}\bigl(a + b\,t + \tfrac{k}{2}\,t^{2}\bigr) , onde a e b são constantes arbitrárias.

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