Considere a hamiltoniana
(i) Determine as constantes
e
de modo que a transformação
seja canônica. (ii) Mediante a transformação canônica do item anterior c resolvendo as equações de movimento para as variáveis transformadas, encontre a solução das equações de movimento para
e $q_{2}(t).
Passo 1
O enunciado apresenta a hamiltoniana
e propõe a transformação
O conteúdo envolve transformações canônicas (uso dos colchetes de Poisson) e solução das equações de Hamilton. Para resolver teremos de (i) achar
e
impondo
e
, (ii) inverter a transformação, reescrever
e usar as equações de Hamilton para achar
e
.
Passo 2
Impondo canonicidade pelo colchete
que deve ser
. Logo
Analogamente
deve ser
, daí
Verifica-se que os demais colchetes cruzados anulam, garantindo a canonicidade.
Passo 3
Invertendo a transformação com
e
:
Passo 4
Substituindo em
:
Observe que não aparece
nem
, logo
e
são constantes de movimento.
Passo 5
Escrevendo as equações de Hamilton para
:
Para
vem
de modo que
e
são constantes.
Passo 6
A equação para
é a de um oscilador harmônico:
com solução geral
Então
Passo 7
Revertendo para as coordenadas originais:
Resposta
As constantes que tornam a transformação canônica são
As soluções gerais do movimento são
com
determinados pelas condições iniciais.