Considere a hamiltoniana
H=\frac{p_{1}^{2}}{2 m}+\frac{\left(p_{2}-k q_{1}\right)^{2}}{2 m}
(i) Determine as constantes A e B de modo que a transformação
Q_{1}=A p_{1}, \quad P_{1}=p_{2}-k q_{1}, \quad Q_{2}=B\left(p_{1}-k q_{2}\right), \quad P_{2}=p_{2}
seja canônica. (ii) Mediante a transformação canônica do item anterior c resolvendo as equações de movimento para as variáveis transformadas, encontre a solução das equações de movimento para q_{1}(t) e $q_{2}(t).

Passo 1

O enunciado apresenta a hamiltoniana
H=\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\frac{\bigl(p_{2}-k\,q_{1}\bigr)^{2}}{2m}
e propõe a transformação
Q_{1}=A\,p_{1},\quad P_{1}=p_{2}-k\,q_{1},\quad Q_{2}=B\bigl(p_{1}-k\,q_{2}\bigr),\quad P_{2}=p_{2}.
O conteúdo envolve transformações canônicas (uso dos colchetes de Poisson) e solução das equações de Hamilton. Para resolver teremos de (i) achar A e B impondo \{Q_{i},P_{j}\}=\delta_{ij} e \{Q_{i},Q_{j}\}=\{P_{i},P_{j}\}=0, (ii) inverter a transformação, reescrever H e usar as equações de Hamilton para achar q_{1}(t) e q_{2}(t).

Passo 2

Impondo canonicidade pelo colchete
\{Q_{1},P_{1}\} =A\,\{p_{1},\,p_{2}-k\,q_{1}\} =A\bigl(0 -(-k)\bigr) =A\,k
que deve ser 1. Logo
A=\frac{1}{k}.
Analogamente
\{Q_{2},P_{2}\} =B\,\{p_{1}-k\,q_{2},\,p_{2}\} =B\bigl(0 - k\{q_{2},p_{2}\}\bigr) =-B\,k
deve ser 1, daí
B=-\frac{1}{k}.
Verifica-se que os demais colchetes cruzados anulam, garantindo a canonicidade.

Passo 3

Invertendo a transformação com A=1/k e B=-1/k:
p_{1}=k\,Q_{1},\quad p_{2}=P_{2},
P_{1}=p_{2}-k\,q_{1}\implies q_{1}=\frac{p_{2}-P_{1}}{k}=\frac{P_{2}-P_{1}}{k},
Q_{2}=-\frac{1}{k}\bigl(p_{1}-k\,q_{2}\bigr) \implies q_{2}=Q_{2}+\frac{p_{1}}{k}=Q_{2}+Q_{1}.

Passo 4

Substituindo em H:
H=\frac{(k\,Q_{1})^{2}}{2m}+\frac{\bigl(P_{2}-k\,q_{1}\bigr)^{2}}{2m} =\frac{k^{2}Q_{1}^{2}}{2m}+\frac{P_{1}^{2}}{2m}.
Observe que não aparece Q_{2} nem P_{2}, logo P_{2} e Q_{2} são constantes de movimento.

Passo 5

Escrevendo as equações de Hamilton para (Q_{1},P_{1}):
\dot Q_{1}=\frac{\partial H}{\partial P_{1}}=\frac{P_{1}}{m},\qquad \dot P_{1}=-\frac{\partial H}{\partial Q_{1}}=-\frac{k^{2}}{m}Q_{1}.
Para (Q_{2},P_{2}) vem
\dot Q_{2}=\frac{\partial H}{\partial P_{2}}=0,\qquad \dot P_{2}=-\frac{\partial H}{\partial Q_{2}}=0,
de modo que Q_{2}=Q_{2}(0) e P_{2}=P_{2}(0) são constantes.

Passo 6

A equação para Q_{1} é a de um oscilador harmônico:
\ddot Q_{1}+\Bigl(\tfrac{k}{m}\Bigr)^{2}Q_{1}=0,
com solução geral
Q_{1}(t)=C\cos\bigl(\omega t\bigr)+D\sin\bigl(\omega t\bigr), \quad\omega=\frac{k}{m}.
Então
P_{1}(t)=m\,\dot Q_{1} =-m\omega\,C\sin(\omega t)+m\omega\,D\cos(\omega t).

Passo 7

Revertendo para as coordenadas originais:
q_{1}(t)=\frac{P_{2}-P_{1}(t)}{k} =\frac{P_{2}(0)}{k} +\frac{m\omega}{k}\bigl[C\sin(\omega t)-D\cos(\omega t)\bigr],
q_{2}(t)=Q_{2}(0)+Q_{1}(t) =Q_{2}(0)+C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t).

Resposta

As constantes que tornam a transformação canônica são
A=\frac{1}{k},\quad B=-\frac{1}{k}.
As soluções gerais do movimento são
q_{1}(t) =\frac{P_{2}(0)}{k} +\frac{m\,k/m}{k}\bigl[C\sin(\tfrac{k}{m}t)-D\cos(\tfrac{k}{m}t)\bigr] =\frac{P_{2}(0)}{k} +\frac{m\,\omega}{k}\bigl[C\sin(\omega t)-D\cos(\omega t)\bigr],
q_{2}(t) =Q_{2}(0)+C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t), \quad\omega=\frac{k}{m},
com C,D,Q_{2}(0),P_{2}(0) determinados pelas condições iniciais.

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