A hamiltoniana de um sistema com um grau de liberdade tem a forma
(i) Escreva as equações de Hamilton e delas deduza uma equação diferencial de segunda ordem envolvendo apenas
. (ii) Invente uma transformação canônica que reduza
à hamiltoniana de um oscilador harmônico:
. (iii) Sabendo que a solução geral do problema do oscilador é
, determine
. (iv) Retornando às variáveis originais, encontre
. Esta função é, portanto, a solução da equação diferencial complicada obtida no item (i).
Passo 1
O enunciado dá a hamiltoniana de um grau de liberdade
e pede: (i) as equações de Hamilton e daí uma EDO de segunda ordem só em
; (ii) uma transformação canônica que leve
em
(iii) usando a solução
, achar
; (iv) voltar a
e assim obter
, solução da EDO do item (i).
Passo 2
Escrevemos as equações de Hamilton:
Agora
. Usando regra do produto:
Como
, resulta
Esta é a equação de segunda ordem só em
.
Passo 3
Proponho a transformação
Calcula-se o colchete de Poisson
, logo é canônica, e ao substituir em
obtemos exatamente
Passo 4
No problema do oscilador com
a frequência natural é
. A solução geral é
Como em Hamilton
segue
Passo 5
Voltando às variáveis originais via
, temos
Esta é a solução geral da equação
obtida no item (i).