A hamiltoniana de um sistema com um grau de liberdade tem a forma
H=\frac{1}{2}\left(q^{4} p^{2}+\frac{1}{q^{2}}\right)
(i) Escreva as equações de Hamilton e delas deduza uma equação diferencial de segunda ordem envolvendo apenas q. (ii) Invente uma transformação canônica que reduza H à hamiltoniana de um oscilador harmônico: K=\left(P^{2}+Q^{2}\right) / 2. (iii) Sabendo que a solução geral do problema do oscilador é Q(t)=A \cos (\omega t+\delta), determine P(t). (iv) Retornando às variáveis originais, encontre q(t). Esta função é, portanto, a solução da equação diferencial complicada obtida no item (i).

Passo 1

O enunciado dá a hamiltoniana de um grau de liberdade
H=\frac{1}{2}\Bigl(q^{4}p^{2}+\frac{1}{q^{2}}\Bigr)
e pede: (i) as equações de Hamilton e daí uma EDO de segunda ordem só em q; (ii) uma transformação canônica que leve H em
K=\frac{1}{2}\bigl(P^{2}+Q^{2}\bigr);
(iii) usando a solução Q(t)=A\cos(\omega t+\delta), achar P(t); (iv) voltar a (q,p) e assim obter q(t), solução da EDO do item (i).

Passo 2

Escrevemos as equações de Hamilton:
\dot q=\frac{\partial H}{\partial p} =\frac{1}{2}\cdot2\,q^{4}p =q^{4}p
\dot p=-\frac{\partial H}{\partial q} =-\frac{1}{2}\Bigl(4q^{3}p^{2}-2q^{-3}\Bigr) =-2q^{3}p^{2}+\frac{1}{q^{3}}
Agora \ddot q=\frac{d}{dt}(q^{4}p). Usando regra do produto:
\ddot q =4q^{3}\dot q\,p+q^{4}\dot p =4q^{3}(q^{4}p)p+q^{4}\Bigl(-2q^{3}p^{2}+\frac{1}{q^{3}}\Bigr) =2q^{7}p^{2}+q.
Como p^{2}=(\dot q)^{2}/q^{8}, resulta
\ddot q =2\,\frac{\dot q^{2}}{q}+q.
Esta é a equação de segunda ordem só em q.

Passo 3

Proponho a transformação
Q=\frac{1}{q}, \qquad P=-\,q^{2}p.
Calcula-se o colchete de Poisson \{Q,P\}=1, logo é canônica, e ao substituir em
K=\frac{1}{2}\bigl(P^{2}+Q^{2}\bigr)
obtemos exatamente
\frac{1}{2}\bigl(q^{4}p^{2}+\tfrac{1}{q^{2}}\bigr)=H.

Passo 4

No problema do oscilador com
K=\frac{1}{2}(P^{2}+Q^{2}),
a frequência natural é \omega=1. A solução geral é
Q(t)=A\cos(t+\delta).
Como em Hamilton
\dot Q=\frac{\partial K}{\partial P}=P,
segue
P(t)=\dot Q(t)=-A\sin(t+\delta).

Passo 5

Voltando às variáveis originais via q=1/Q, temos
q(t)=\frac{1}{A\cos(t+\delta)}.
Esta é a solução geral da equação \ddot q=2\dot q^{2}/q+q obtida no item (i).

Resposta

q(t)=\frac{1}{A\cos(t+\delta)}.

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