A hamiltoniana de um certo sistema unidimensional é H=\omega^{2} p(q+t)^{2}, onde \omega é uma constante positiva. (i) Prove que a transformação Q=q+t, P=p é canônica e encontre uma função geradora. (ii) Usando a transformação canônica do item anterior, resolva as equações de Hamilton para q(t) e p(t).

Passo 1

O enunciado dá a hamiltoniana dependente do tempo
H(q,p,t)=\omega^{2}\,p\,(q+t)^{2},
pede para mostrar que a transformação
Q=q+t,\quad P=p
é canônica e encontrar uma função geradora. Em seguida, usando essa transformação, resolver as equações de Hamilton para q(t) e p(t).

Passo 2

Para ver que a transformação é canônica, basta achar uma função geradora de tipo 2, F_{2}(q,P,t), tal que
p=\frac{\partial F_{2}}{\partial q},\quad Q=\frac{\partial F_{2}}{\partial P}.
Escolhemos
F_{2}(q,P,t)=P\,(q+t).
De fato,
\frac{\partial F_{2}}{\partial q}=P\implies p=P,
\frac{\partial F_{2}}{\partial P}=q+t\implies Q=q+t.
Logo é canônica e F_{2}(q,P,t)=P\,(q+t) é a função geradora.

Passo 3

O novo hamiltoniano K(Q,P,t) é dado por
K=H+\frac{\partial F_{2}}{\partial t} =\omega^{2}\,P\,Q^{2}+\frac{\partial}{\partial t}\bigl(P\,t\bigr) =\omega^{2}\,P\,Q^{2}+P =P\bigl(\omega^{2}Q^{2}+1\bigr).
As equações de Hamilton nos novos pares são
\dot Q=\frac{\partial K}{\partial P}=\omega^{2}Q^{2}+1,
\dot P=-\frac{\partial K}{\partial Q}=-2\,\omega^{2}\,P\,Q.

Passo 4

Resolvendo primeiro \dot Q=\omega^{2}Q^{2}+1. Escrevendo
\frac{dQ}{\omega^{2}Q^{2}+1}=dt,
integramos:
\frac{1}{\omega}\arctan\bigl(\omega Q\bigr)=t+C.
No instante inicial t=0, Q(0)=q_{0}, logo C=\tfrac{1}{\omega}\arctan(\omega q_{0}). Assim
\arctan\bigl(\omega Q\bigr)=\omega t+\arctan(\omega q_{0}) \quad\Longrightarrow\quad Q(t)=\frac{1}{\omega}\tan\!\bigl(\omega t+\arctan(\omega q_{0})\bigr).

Passo 5

Agora \dot P=-2\omega^{2}P\,Q
\frac{dP}{P}=-2\omega^{2}\,Q\,dt.
Como já sabemos Q(t), use Q=\tfrac{1}{\omega}\tan\theta com \theta=\omega t+\arctan(\omega q_{0}) e dt=\cos^{2}\!\theta\,\tfrac{d\theta}{\omega}. Então
\frac{dP}{P} =-2\omega^{2}\,\frac{1}{\omega}\tan\theta\, \cos^{2}\theta\,\frac{d\theta}{\omega} =-2\int\sin\theta\cos\theta\,d\theta =-\int\sin2\theta\,d\theta =\frac{\cos2\theta}{2}+{\rm const}.
Impondo P(0)=p_{0} e voltando a \theta, obtemos
P(t) =p_{0}\,\exp\Bigl[ \frac{\omega}{2}\bigl(\cos2(\omega t+\alpha)-\cos2\alpha\bigr) \Bigr], \quad\alpha=\arctan(\omega q_{0}).

Passo 6

Voltando às variáveis originais:
q(t)=Q(t)-t =\frac{1}{\omega}\tan\!\bigl(\omega t+\arctan(\omega q_{0})\bigr)\;-\;t,
p(t)=P(t) =p_{0}\,\exp\Bigl[ \frac{\omega}{2}\bigl(\cos\bigl(2\omega t+2\arctan(\omega q_{0})\bigr) -\cos\bigl(2\arctan(\omega q_{0})\bigr)\bigr) \Bigr].

Resposta

q(t) = \displaystyle \frac{1}{\omega}\tan\!\bigl(\omega t+\arctan(\omega q_{0})\bigr)-t
p(t) = \displaystyle p_{0}\,\exp\Bigl[\tfrac{\omega}{2}\bigl(\cos(2\omega t+2\arctan(\omega q_{0}))-\cos(2\arctan(\omega q_{0}))\bigr)\Bigr]

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