A hamiltoniana de um certo sistema unidimensional é
, onde
é uma constante positiva. (i) Prove que a transformação
é canônica e encontre uma função geradora. (ii) Usando a transformação canônica do item anterior, resolva as equações de Hamilton para
e
.
Passo 1
O enunciado dá a hamiltoniana dependente do tempo
pede para mostrar que a transformação
é canônica e encontrar uma função geradora. Em seguida, usando essa transformação, resolver as equações de Hamilton para
e
.
Passo 2
Para ver que a transformação é canônica, basta achar uma função geradora de tipo
,
, tal que
Escolhemos
De fato,
Logo é canônica e
é a função geradora.
Passo 3
O novo hamiltoniano
é dado por
As equações de Hamilton nos novos pares são
Passo 4
Resolvendo primeiro
. Escrevendo
integramos:
No instante inicial
,
, logo
. Assim
Passo 5
Agora
dá
Como já sabemos
, use
com
e
. Então
Impondo
e voltando a
, obtemos
Passo 6
Voltando às variáveis originais:
Resposta
q(t)
p(t)
p(t)