De acordo com o Teorema de Green, a transformação da integral de linha
\oint_{\gamma}\left(x^{4}-y^{3}\right) d x+\left(x^{3}+y^{5}\right) d y
numa integral dupla, onde \gamma é a fronteira do disco unitário D de centro na origem, ocorre em:
a) -\iint_{D}\left(x^{2}+y\right) d x d y
b) \iint_{D}\left(3 x^{2}+y^{2}\right) d x d y
c) \iint_{D}\left(x+y^{2}\right) d x d y
(x) 3 \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y
e) nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado dá a integral de linha
\oint_{\gamma}\bigl(x^{4}-y^{3}\bigr)\,dx+\bigl(x^{3}+y^{5}\bigr)\,dy
sendo \gamma a fronteira do disco unitário D. Para converter essa integral de linha numa integral dupla sobre D, vamos usar o Teorema de Green, que diz:
\oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x^{4}-y^{3}, \quad Q(x,y)=x^{3}+y^{5}.
Agora calculamos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+y^{5}) =3x^{2},
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x^{4}-y^{3}) =-3y^{2}.

Passo 3

Formamos o integrando do Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =3x^{2}-(-3y^{2}) =3x^{2}+3y^{2} =3\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).

Passo 4

Portanto a integral de linha vale
\iint_{D}3\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA =3\iint_{D}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy.

Passo 5

Comparando com as opções dadas, isso corresponde precisamente à opção marcada com (x):
3\iint_{D}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy.

Resposta

(x) 3\displaystyle\iint_{D}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy

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