Considere as afirmações concernentes ao campo vetorial
.
I.
é conservativo.
II. A integral de linha do campo
ao longo da parábola
, com
, orientada de
para
é -2 .
III.
é uma função potencial para
.
É incorreto o que se afirma em:
a) I e II
b) II e III
c) Apenas em I
d) Apenas em II
Apenas em III
I.
II. A integral de linha do campo
III.
a) I e II
b) II e III
c) Apenas em I
d) Apenas em II
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e três afirmações:
I. é conservativo.
II. A integral de linha de ao longo da parábola
, de
a
, vale
.
III. é função potencial de
.
Vamos testar cada item.
I.
II. A integral de linha de
III.
Vamos testar cada item.
Passo 2
Para ver se
é conservativo, note que suas componentes são
em todo
, que é simplesmente conexo. Calculamos
Como
, concluímos que
é conservativo. Logo, I é verdadeira.
Passo 3
Para a integral de linha sobre
de
a
, parametrize
Então
O produto escalar é
Faça a integral:
Portanto, a afirmação II (que dizia ser
) está incorreta.
Passo 4
Para achar o potencial, integre
em relação a
:
onde
é função de
. Então
deve igualar
, de modo que
e
é constante. Assim
é potencial, e basta escolher
para obter
. Logo, III é verdadeira.
Passo 5
Das três afirmações, apenas a II está errada. I e III são verdadeiras.
Resposta
d) Apenas em II