Considere as afirmações concernentes ao campo vetorial \vec{F}(x, y)=y \vec{i}+x \vec{j}.
I. \vec{F} é conservativo.
II. A integral de linha do campo \vec{F} ao longo da parábola y=x^{2}, com -1 \leq x \leq 1, orientada de A(-1,1) para B(1,1) é -2 .
III. \varphi(x, y)=x y-\sqrt{2} é uma função potencial para \vec{F}.
É incorreto o que se afirma em:
a) I e II
b) II e III
c) Apenas em I
d) Apenas em II
Apenas em III

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \vec F(x,y)=y\,\vec i + x\,\vec j e três afirmações:
I. \vec F é conservativo.
II. A integral de linha de \vec F ao longo da parábola y=x^2, de A(-1,1) a B(1,1), vale -2.
III. \varphi(x,y)=xy-\sqrt{2} é função potencial de \vec F.
Vamos testar cada item.

Passo 2

Para ver se \vec F é conservativo, note que suas componentes são
P(x,y)=y,\quad Q(x,y)=x
em todo \mathbb R^2, que é simplesmente conexo. Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y}=1, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=1.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x, concluímos que \vec F é conservativo. Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Para a integral de linha sobre y=x^2 de x=-1 a 1, parametrize
\mathbf r(t)=(t,t^2),\quad t\in[-1,1].
Então
\mathbf r'(t)=(1,2t), \qquad \vec F(\mathbf r(t))=(t^2,t).
O produto escalar é
\vec F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t) = t^2\cdot1 + t\cdot(2t) =3t^2.
Faça a integral:
\int_C\vec F\cdot d\mathbf r =\int_{-1}^{1}3t^2\,dt =3\bigl[t^3/3\bigr]_{-1}^{1} =1-(-1)=2.
Portanto, a afirmação II (que dizia ser -2) está incorreta.

Passo 4

Para achar o potencial, integre P=y em relação a x:
\varphi(x,y)=\int y\,dx = xy + h(y),
onde h(y) é função de y. Então
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = x + h'(y)
deve igualar Q(x,y)=x, de modo que h'(y)=0 e h é constante. Assim
\varphi(x,y)=xy + C
é potencial, e basta escolher C=-\sqrt{2} para obter \varphi(x,y)=xy-\sqrt{2}. Logo, III é verdadeira.

Passo 5

Das três afirmações, apenas a II está errada. I e III são verdadeiras.

Resposta

d) Apenas em II

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