(UEMG) O lucro L de uma empresa é dado por \mathrm{L}(\mathrm{x})=10(13-\mathrm{x})(\mathrm{x}-1),
onde x é a quantidade de unidades vendidas de um determinado produto. Considerando esta situação apresentada, é CORRETO afirmar que
(A) o lucro é máximo para \mathbf{x} igual a 10 .
(B) o lucro é máximo para x igual a 15.
(C) o lucro é mínimo para \mathbf{x} igual a 9.
(D) o lucro é máximo para \mathbf{x} igual a 7 .

Passo 1

Resumindo o enunciado: a função lucro é
L(x)=10\,(13-x)\,(x-1),
onde x é a quantidade vendida. O que precisamos fazer é reconhecer que isso é uma parábola (função quadrática) e determinar onde ela atinge o valor máximo ou mínimo.

Passo 2

Vamos escrever L(x) na forma padrão ax^2+bx+c. Primeiro expandimos:
(13-x)(x-1)=13x-13 - x^2 + x = -x^2 + 14x -13.
Multiplicando por 10, obtemos
L(x)=-10x^2 + 140x -130.
Logo, os coeficientes são a=-10, b=140 e c=-130.

Passo 3

Para uma parábola ax^2+bx+c, o vértice em x ocorre em
x_v = -\frac{b}{2a}.
Substituindo a=-10 e b=140, vem:

Passo 4

x_v = -\frac{140}{2\cdot(-10)} = \frac{140}{20} = 7.

Passo 5

Como a=-10<0, a parábola é voltada para baixo, logo em x_v temos um máximo de L(x).

Resposta

(D) o lucro é máximo para \mathbf{x}=7.

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