Considere a integral de linha
\oint_{\Gamma} x y d x+\left(\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+2 x y-y^{2}\right) d y
onde \Gamma é a fronteira do disco D: x^{2}+y^{2} \leq 4, De acordo com o Teorema de Green essa integral de linha está escrita em termos de integral dupla em:
a) \iint_{D}\left(x^{2}-2 x y\right) d x d y
b) \iint_{D}\left(x+2 y^{2}\right) d x d y
\iint_{D}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y
d) \iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right) d x d y
e) Nenhuma da anteriores

Passo 1

O enunciado pede para transformar a integral de linha
\oint_{\Gamma}P\,dx+Q\,dy
com
P(x,y)=xy,\quad Q(x,y)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+2xy-y^{2},
onde \Gamma é a fronteira do disco D:\,x^{2}+y^{2}\le4, numa integral dupla sobre D. Vamos usar o Teorema de Green para isso.

Passo 2

O Teorema de Green em sua forma para campos no plano diz que
\oint_{\Gamma}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dx\,dy.
Nosso objetivo é então calcular \partial Q/\partial x e \partial P/\partial y.

Passo 3

Calculando \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}:
Q(x,y)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+2xy-y^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial x} =x^{2}+x+2y.

Passo 4

Calculando \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}:
P(x,y)=xy \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y}=x.

Passo 5

Formando a diferença do Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =(x^{2}+x+2y)-x =x^{2}+2y.
Logo a integral de linha vale
\iint_{D}\bigl(x^{2}+2y\bigr)\,dx\,dy.

Resposta

c) \displaystyle \iint_{D}\bigl(x^{2}+2y\bigr)\,dx\,dy

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