De acordo com uma teoria do crescimento bacteriano, a taxa de crescimento de uma bactéria é igual à diferença entre as forças metabólicas de anabolismo e catabolismo, sendo tais forças aproximadamente proporcionais à área superficial da bactéria (a qual é proporcional a
para bactérias hipoteticamente esféricas) e à massa
, respectivamente, resultando na seguinte EDO:
(a) Determine a solução geral da equação. Resp:
(a) Determine a solução geral da equação. Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre crescimento bacteriano. A gente tem uma equação diferencial que descreve como a massa da bactéria muda com o tempo. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e um pouquinho de biologia sobre crescimento bacteriano. Para resolver, vamos precisar entender como separar variáveis e integrar equações.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação dada:
Essa equação descreve a taxa de crescimento da massa
em função do tempo
.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis:
Podemos fatorar
:
Passo 4
Agora, separamos as variáveis
e
. Para isso, colocamos todos os termos de
de um lado e os de
do outro:
Passo 5
Simplificamos a fração no lado esquerdo. Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
e
.
Passo 6
Substituindo na equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o método do fator integrante.
Passo 8
Reescrevemos a equação na forma padrão:
O fator integrante
é:
Passo 9
Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 10
Integramos ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral:
Simplificando:
Passo 11
Dividimos ambos os lados por
:
Passo 12
Lembrando que
, elevamos ambos os lados ao cubo para encontrar
: