De acordo com uma teoria do crescimento bacteriano, a taxa de crescimento de uma bactéria é igual à diferença entre as forças metabólicas de anabolismo e catabolismo, sendo tais forças aproximadamente proporcionais à área superficial da bactéria (a qual é proporcional a M^2 / 3 para bactérias hipoteticamente esféricas) e à massa M, respectivamente, resultando na seguinte EDO:
d Md t=alpha M^2 / 3-beta M
(a) Determine a solução geral da equação. Resp: M(t)=(alphabeta+C e^-beta3 t)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre crescimento bacteriano. A gente tem uma equação diferencial que descreve como a massa da bactéria muda com o tempo. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e um pouquinho de biologia sobre crescimento bacteriano. Para resolver, vamos precisar entender como separar variáveis e integrar equações.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação dada:
d Md t = alpha M^2 / 3 - beta M
Essa equação descreve a taxa de crescimento da massa em função do tempo .

Passo 3

Vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis:
d Mdt = alpha M^2/3 - beta M
Podemos fatorar d Mdt = M^2/3 (alpha - beta M^1/3) :

Passo 4

Agora, separamos as variáveis d MM^2/3 (alpha - beta M^1/3) = dt e . Para isso, colocamos todos os termos de de um lado e os de do outro:

Passo 5

Simplificamos a fração no lado esquerdo. Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então e .

Passo 6

Substituindo na equação original:
3u^2 dudt = alpha u^2 - beta u^3
Dividindo ambos os lados por 3 dudt = alpha - beta u :

Passo 7

Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
dudt = alpha - beta u3
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o método do fator integrante.

Passo 8

Reescrevemos a equação na forma padrão:
dudt + beta3 u = alpha3
O fator integrante mu(t) = e^integral beta3 dt = e^beta3 t é:

Passo 9

Multiplicamos a equação por e^beta3 t dudt + beta3 e^beta3 t u = alpha3 e^beta3 t :
ddt ( e^beta3 t u ) = alpha3 e^beta3 t
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 10

Integramos ambos os lados em relação a e^beta3 t u = integral alpha3 e^beta3 t dt + C :
e^beta3 t u = alpha3 cdot 3beta e^beta3 t + C
Calculando a integral:
e^beta3 t u = alphabeta e^beta3 t + C
Simplificando:

Passo 11

Dividimos ambos os lados por u = alphabeta + C e^-beta3 t :

Passo 12

Lembrando que M = ( alphabeta + C e^-beta3 t )^3 , elevamos ambos os lados ao cubo para encontrar :

Resposta

M(t) = ( alphabeta + C e^-beta3 t )^3

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