Mostre que T é uma transformação linear, encontrando a matriz de transformação .
T(x1, x2, x3, x4)=3 x1+4 x3-2 x4( Note: T: R^4 R)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma transformação que pega um vetor de 4 dimensões, , e retorna um único número real calculado como . O assunto aqui é transformação linear, então vamos precisar entender o que é isso e como mostrar que é realmente linear. Para isso, vamos precisar saber sobre propriedades de transformações lineares e como representar uma transformação linear com uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição: para todos os vetores em .
  2. Multiplicação por escalar: para todo escalar e vetor em .
Vamos verificar se essas propriedades são verdadeiras para a transformação dada.

Passo 3

Vamos verificar a adição. Se pegarmos dois vetores T(u + v) = T(u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, u4 + v4) = 3(u1 + v1) + 4(u3 + v3) - 2(u4 + v4) e = 3u1 + 3v1 + 4u3 + 4v3 - 2u4 - 2v4 , então:
T(u) + T(v) = (3u1 + 4u3 - 2u4) + (3v1 + 4v3 - 2v4) = 3u1 + 4u3 - 2u4 + 3v1 + 4v3 - 2v4
Distribuindo, temos:
Por outro lado:
Vemos que os dois resultados são iguais, então a propriedade de adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja T(cu) = T(cu1, cu2, cu3, cu4) = 3(cu1) + 4(cu3) - 2(cu4) = c(3u1 + 4u3 - 2u4) = cT(u) um escalar e , então:
Assim, a propriedade de multiplicação por escalar também é satisfeita.

Passo 5

Como satisfaz as duas propriedades necessárias, concluímos que é uma transformação linear.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a matriz de transformação de Matriz de T = 3 & 0 & 4 & -2 . Como vai de para , a matriz terá dimensões .
Cada coluna da matriz corresponde ao coeficiente de cada variável na expressão de . Então, temos:

Resposta

A transformação 3 & 0 & 4 & -2 é linear e sua matriz de transformação é:

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