Mostre que T é uma transformação linear, encontrando a matriz de transformação .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma transformação
que pega um vetor de 4 dimensões,
, e retorna um único número real calculado como
. O assunto aqui é transformação linear, então vamos precisar entender o que é isso e como mostrar que
é realmente linear. Para isso, vamos precisar saber sobre propriedades de transformações lineares e como representar uma transformação linear com uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Adição:
para todos os vetores em . - Multiplicação por escalar:
para todo escalar e vetor em .
Vamos verificar se essas propriedades são verdadeiras para a transformação
dada.
Passo 3
Vamos verificar a adição. Se pegarmos dois vetores
e
, então:
Distribuindo, temos:
Por outro lado:
Vemos que os dois resultados são iguais, então a propriedade de adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
, então:
Assim, a propriedade de multiplicação por escalar também é satisfeita.
Passo 5
Como
satisfaz as duas propriedades necessárias, concluímos que
é uma transformação linear.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a matriz de transformação de
. Como
vai de
para
, a matriz terá dimensões
.
Cada coluna da matriz corresponde ao coeficiente de cada variável
na expressão de
. Então, temos:
Resposta
A transformação
é linear e sua matriz de transformação é: