Uma partícula de massa m sedimentando no seio de um fluido viscoso está sujeita a ação de três forças: a força peso, o empuxo e a força de arraste (força de resistência ao movimento) que é proporcional ao quadrado de sua velocidade instantânea, sendo beta a constante de proporcionalidade. As forças de empuxo e peso podem ser somadas fornecendo amg como módulo da resultante, onde alpha=(1-rhof / rhop), g é a aceleração da gravidade, rhof e rhorho são as massas específicas do fluido e da partícula, respectivamente.
(a) Escreva a equação diferencial que descreve esse movimento. Sugestão: Parta da 2a Lei de Newton ( m cdot a=Sigma F, sendo a=d v / d t ) para formular a EDO. Resp: m d vd t=alpha m g-beta v^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa que está caindo em um fluido viscoso. A gente vai usar a segunda Lei de Newton da física para descrever o movimento dessa partícula. Para resolver, vamos precisar entender como somar as forças que atuam na partícula, que são a força peso, o empuxo e a força de arraste. Vamos construir uma equação diferencial que mostra como a velocidade da partícula muda com o tempo.

Passo 2

Primeiramente, vamos identificar todas as forças que estão agindo na partícula:
  1. Força Peso ( Fp = m cdot g ): É a força puxando a partícula para baixo devido à gravidade. Essa força é dada por:
    Fe = alpha cdot m cdot g
    onde Fa = beta cdot v^2 é a aceleração da gravidade.
  2. Empuxo ( ): É a força para cima que o fluido exerce na partícula, de acordo com o Princípio de Arquimedes. A força de empuxo é:
    aqui, , sendo a densidade do fluido e a densidade da partícula.
  3. Força de Arraste ( ): É a força de resistência que o fluido oferece ao movimento da partícula. Essa força é proporcional ao quadrado da velocidade instantânea da partícula:
    onde é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Agora que identificamos as forças, vamos somá-las para encontrar a força resultante ( m cdot a = Sigma F ) que atua na partícula. De acordo com a segunda Lei de Newton:
Sigma F = Fp - Fe - Fa = m cdot g - alpha cdot m cdot g - beta cdot v^2
Temos que a aceleração é a taxa de variação da velocidade, ou seja, .
As forças atuando são:
  • Força para baixo:
  • Força para cima:
  • Força de arraste contra o movimento:
Então, somando as forças:

Passo 4

Substituindo a força resultante na segunda Lei de Newton:
m cdot dvdt = m cdot g - alpha cdot m cdot g - beta cdot v^2
Podemos fatorar m cdot dvdt = m cdot g (1 - alpha) - beta cdot v^2 nos termos da gravidade:
m cdot dvdt = alpha cdot m cdot g - beta cdot v^2
Mas como , isso simplifica para:

Resposta

A equação diferencial que descreve o movimento da partícula é:
m dvdt = alpha m g - beta v^2

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