Uma partícula de massa
sedimentando no seio de um fluido viscoso está sujeita a ação de três forças: a força peso, o empuxo e a força de arraste (força de resistência ao movimento) que é proporcional ao quadrado de sua velocidade instantânea, sendo
a constante de proporcionalidade. As forças de empuxo e peso podem ser somadas fornecendo amg como módulo da resultante, onde
, g é a aceleração da gravidade,
e
são as massas específicas do fluido e da partícula, respectivamente.
(a) Escreva a equação diferencial que descreve esse movimento. Sugestão: Parta da 2a Lei de Newton (
, sendo
) para formular a EDO. Resp:
(a) Escreva a equação diferencial que descreve esse movimento. Sugestão: Parta da 2a Lei de Newton (
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa
que está caindo em um fluido viscoso. A gente vai usar a segunda Lei de Newton da física para descrever o movimento dessa partícula. Para resolver, vamos precisar entender como somar as forças que atuam na partícula, que são a força peso, o empuxo e a força de arraste. Vamos construir uma equação diferencial que mostra como a velocidade da partícula muda com o tempo.
Passo 2
Primeiramente, vamos identificar todas as forças que estão agindo na partícula:
-
Força Peso (
): É a força puxando a partícula para baixo devido à gravidade. Essa força é dada por: ondeé a aceleração da gravidade. -
Empuxo (
): É a força para cima que o fluido exerce na partícula, de acordo com o Princípio de Arquimedes. A força de empuxo é: aqui,, sendo a densidade do fluido e a densidade da partícula. -
Força de Arraste (
): É a força de resistência que o fluido oferece ao movimento da partícula. Essa força é proporcional ao quadrado da velocidade instantânea da partícula: ondeé a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Agora que identificamos as forças, vamos somá-las para encontrar a força resultante (
) que atua na partícula. De acordo com a segunda Lei de Newton:
Temos que a aceleração
é a taxa de variação da velocidade, ou seja,
.
As forças atuando são:
- Força para baixo:
- Força para cima:
- Força de arraste contra o movimento:
Então, somando as forças:
Passo 4
Substituindo a força resultante na segunda Lei de Newton:
Podemos fatorar
nos termos da gravidade:
Mas como
, isso simplifica para:
Resposta
A equação diferencial que descreve o movimento da partícula é: