De acordo com uma teoria do crescimento bacteriano, a taxa de crescimento de uma bactéria é igual à diferença entre as forças metabólicas de anabolismo e catabolismo, sendo tais forças aproximadamente proporcionais à área superficial da bactéria (a qual é proporcional a
para bactérias hipoteticamente esféricas) e à massa
, respectivamente, resultando na seguinte EDO:
(b) Determine o valor máximo da massa que a bactéria atingirá (
). Resp:
(b) Determine o valor máximo da massa que a bactéria atingirá (
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que modela o crescimento de uma bactéria. Basicamente, a taxa de crescimento da massa da bactéria depende de duas coisas: o anabolismo (que faz a bactéria crescer) e o catabolismo (que a desgasta). A equação dada é:
Aqui,
é a massa da bactéria,
e
são constantes que representam as forças de anabolismo e catabolismo, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar a massa máxima
que a bactéria alcança.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a massa máxima, precisamos descobrir quando a taxa de crescimento da massa é zero, ou seja, quando
. Isso acontece no ponto onde o anabolismo e o catabolismo se equilibram.
Então, igualamos a equação a zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para
. Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
-
=> (o que não é interessante para nossa análise) -
=>
Passo 4
Vamos resolver a segunda equação para
:
Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar o expoente fracionário:
Resposta
Então, a massa máxima que a bactéria atinge é: