De acordo com uma teoria do crescimento bacteriano, a taxa de crescimento de uma bactéria é igual à diferença entre as forças metabólicas de anabolismo e catabolismo, sendo tais forças aproximadamente proporcionais à área superficial da bactéria (a qual é proporcional a M^2 / 3 para bactérias hipoteticamente esféricas) e à massa M, respectivamente, resultando na seguinte EDO:
d Md t=alpha M^2 / 3-beta M
(b) Determine o valor máximo da massa que a bactéria atingirá ( Mmax ). Resp: Mmax =(alphabeta)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que modela o crescimento de uma bactéria. Basicamente, a taxa de crescimento da massa da bactéria depende de duas coisas: o anabolismo (que faz a bactéria crescer) e o catabolismo (que a desgasta). A equação dada é:
dMdt = alpha M^2/3 - beta M
Aqui, é a massa da bactéria, e são constantes que representam as forças de anabolismo e catabolismo, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar a massa máxima que a bactéria alcança.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a massa máxima, precisamos descobrir quando a taxa de crescimento da massa é zero, ou seja, quando alpha M^2/3 - beta M = 0 . Isso acontece no ponto onde o anabolismo e o catabolismo se equilibram.
Então, igualamos a equação a zero:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para M^2/3 (alpha - beta M^1/3) = 0 . Podemos fatorar :
Isso nos dá duas soluções possíveis:
  1. => (o que não é interessante para nossa análise)
  2. =>

Passo 4

Vamos resolver a segunda equação para M^1/3 = alphabeta :
M = ( alphabeta )^3
Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar o expoente fracionário:

Resposta

Então, a massa máxima que a bactéria atinge é:
Mmax = ( alphabeta )^3

Exercícios relacionados