Determine a equação da hipérbole que tem vértices
e passa pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma hipérbole com vértices em
e
, e que passa pelo ponto
. Vamos usar conceitos de geometria analítica para encontrar a equação dessa hipérbole.
Passo 2
Primeiro, sabemos que os vértices da hipérbole estão na horizontal, já que os pontos
e
têm coordenadas
. Isso significa que o eixo transversal está ao longo do eixo
.
A forma geral da equação de uma hipérbole com eixo transversal horizontal é:
Aqui,
é a distância do centro aos vértices, e
está relacionado à distância dos focos.
Passo 3
Vamos encontrar o valor de
. Os vértices estão em
e
, então a distância do centro (que é a média dos vértices, neste caso
) a cada vértice é
.
Então, substituindo
na equação:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
. Para isso, usamos o ponto
que está na hipérbole. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 5
Vamos resolver para
:
Passo 6
Agora que temos
e
, substituímos esses valores na equação geral da hipérbole:
Podemos simplificar a fração no denominador:
Resposta
A equação da hipérbole é: