Determine a equação da hipérbole que tem vértices A1=(-4,0), A2=(4,0) e passa pelo ponto P=(8,2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma hipérbole com vértices em e , e que passa pelo ponto . Vamos usar conceitos de geometria analítica para encontrar a equação dessa hipérbole.

Passo 2

Primeiro, sabemos que os vértices da hipérbole estão na horizontal, já que os pontos x^2a^2 - y^2b^2 = 1 e têm coordenadas . Isso significa que o eixo transversal está ao longo do eixo .
A forma geral da equação de uma hipérbole com eixo transversal horizontal é:
Aqui, é a distância do centro aos vértices, e está relacionado à distância dos focos.

Passo 3

Vamos encontrar o valor de x^216 - y^2b^2 = 1 . Os vértices estão em e , então a distância do centro (que é a média dos vértices, neste caso ) a cada vértice é .
Então, substituindo na equação:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar 8^216 - 2^2b^2 = 1 . Para isso, usamos o ponto 6416 - 4b^2 = 1 que está na hipérbole. Vamos substituir esses valores na equação:
4 - 4b^2 = 1

Passo 5

Vamos resolver para 4 - 1 = 4b^2 :
3 = 4b^2
b^2 = 43

Passo 6

Agora que temos x^216 - y^243 = 1 e x^216 - 3y^24 = 1 , substituímos esses valores na equação geral da hipérbole:
Podemos simplificar a fração no denominador:

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^216 - 3y^24 = 1

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