Acredita-se que 20 % dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a probabilidade de, em um grupo de 13 moradores próximos a uma indústria siderúrgica, pelo menos 4 deles terem alergia aos poluentes do ar. A matéria que vamos usar aqui é de Probabilidade, mais especificamente a Distribuição Binomial. Precisamos entender conceitos como eventos independentes, probabilidade de sucesso e como calcular probabilidades usando combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos 4 moradores têm alergia”. Isso quer dizer que queremos a probabilidade de 4, 5, 6, …, até 13 moradores terem alergia. Em outras palavras, estamos procurando a soma das probabilidades individuais de cada um desses casos.

Passo 3

A distribuição binomial é perfeita para esse tipo de problema porque temos um número fixo de tentativas (13 moradores), duas opções para cada tentativa (tem ou não alergia), e a probabilidade de sucesso (ter alergia) é constante (20% ou 0,2) em cada tentativa.

Passo 4

A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (13),
  • $ k $ é o número de sucessos desejados (vai de 4 a 13),
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,2),
  • $ \binom{n}{k} $ é a combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $.

Passo 5

Calcular cada uma dessas combinações e probabilidades para $ k = 4 $ até $ k = 13 $ seria muito trabalhoso manualmente. Por isso, podemos usar a complementaridade da probabilidade. Em vez de calcular $ P(X \geq 4) $, podemos calcular $ 1 - P(X \leq 3) $, o que envolve menos cálculos:
k = 4

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades menores:
  1. Para $ k = 0 $:
k = 0
  1. Para $ k = 1 $:
P(X = 0) = binom130 times 0,2^0 times 0,8^13 = 1 times 1 times 0,8^13 approx 0,054
  1. Para $ k = 2 $:
k = 1
  1. Para $ k = 3 $:
P(X = 1) = binom131 times 0,2^1 times 0,8^12 = 13 times 0,2 times 0,8^12 approx 0,183

Passo 7

Agora, somamos essas probabilidades para obter $ P(X \leq 3) $:
P(X <= 3)

Passo 8

Finalmente, usamos a complementaridade para achar $ P(X \geq 4) $:
P(X >= 4)

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 4 moradores entre 13 selecionados ao acaso tenham alergia é de aproximadamente 23,4%.

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