Acredita-se que
dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a probabilidade de, em um grupo de 13 moradores próximos a uma indústria siderúrgica, pelo menos 4 deles terem alergia aos poluentes do ar. A matéria que vamos usar aqui é de Probabilidade, mais especificamente a Distribuição Binomial. Precisamos entender conceitos como eventos independentes, probabilidade de sucesso e como calcular probabilidades usando combinações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos 4 moradores têm alergia”. Isso quer dizer que queremos a probabilidade de 4, 5, 6, …, até 13 moradores terem alergia. Em outras palavras, estamos procurando a soma das probabilidades individuais de cada um desses casos.
Passo 3
A distribuição binomial é perfeita para esse tipo de problema porque temos um número fixo de tentativas (13 moradores), duas opções para cada tentativa (tem ou não alergia), e a probabilidade de sucesso (ter alergia) é constante (20% ou 0,2) em cada tentativa.
Passo 4
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
- $ n $ é o número total de tentativas (13),
- $ k $ é o número de sucessos desejados (vai de 4 a 13),
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,2),
- $ \binom{n}{k} $ é a combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $.
Passo 5
Calcular cada uma dessas combinações e probabilidades para $ k = 4 $ até $ k = 13 $ seria muito trabalhoso manualmente. Por isso, podemos usar a complementaridade da probabilidade. Em vez de calcular $ P(X \geq 4) $, podemos calcular $ 1 - P(X \leq 3) $, o que envolve menos cálculos:
Passo 6
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades menores:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
- Para $ k = 3 $:
Passo 7
Agora, somamos essas probabilidades para obter $ P(X \leq 3) $:
Passo 8
Finalmente, usamos a complementaridade para achar $ P(X \geq 4) $:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 4 moradores entre 13 selecionados ao acaso tenham alergia é de aproximadamente 23,4%.