Mostre que:
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Passo 1
Então, a gente tem uma sequência de variáveis aleatórias $ X_n $ que converge em distribuição para $ X $. O exercício pede para mostrar que, se a gente transformar essas variáveis com uma combinação linear $ aX_n + b $, essa nova sequência também vai convergir em distribuição para $ aX + b $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de convergência em distribuição e propriedades de transformações lineares de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa $ X_n \xrightarrow{D} X $. Isso quer dizer que, para toda função contínua limitada $ f $, a expectativa de $ f(X_n) $ converge para a expectativa de $ f(X) $. Em termos de funções de distribuição acumulada (CDF), a CDF de $ X_n $ converge para a CDF de $ X $ em todos os pontos de continuidade de $ X $.
Passo 3
Agora, queremos analisar a sequência transformada $ Y_n = aX_n + b $ e mostrar que $ Y_n \xrightarrow{D} Y = aX + b $. Para isso, vamos examinar a CDF de $ Y_n $ e ver o que acontece quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 4
A CDF de $ Y_n $ é dada por:
Vamos resolver essa desigualdade para $ X_n $:
Passo 5
Então, a CDF de $ Y_n $ fica:
Onde $ F_{X_n} $ é a CDF de $ X_n $.
Passo 6
Sabendo que $ X_n \xrightarrow{D} X $, temos que $ F_{X_n}(x) \to F_X(x) $ para todo ponto de continuidade de $ F_X $. Aplicando isso na expressão da CDF de $ Y_n $:
Passo 7
A função $ F_Y(y) $ é exatamente a CDF de $ Y = aX + b $, já que:
Resposta
Assim, mostramos que $ aX_n + b \xrightarrow{D} aX + b $ quando $ X_n \xrightarrow{D} X $.