O número de estudantes que se matriculam em um curso de psicologia é uma variável aleatória de Poisson com média 100. O professor encarregado do curso decidiu que, se o número de matrículas for maior ou igual a 120, ele dará aulas para duas turmas separadas. Por outro lado, se esse número for menor que 120, ele dará aulas para todos os estudantes juntos em uma única turma. Qual é a probabilidade aproximada de que o professor tenha que dar aulas para duas turmas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre quantos estudantes se matriculam em um curso de psicologia, que é uma variável aleatória de Poisson com média de 100. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de que o professor precise dar aulas para duas turmas, ou seja, quando o número de matrículas for 120 ou mais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre distribuições de Poisson e como aproximá-las usando a distribuição normal quando a média é grande.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual é a probabilidade que estamos procurando. Queremos saber P(X ≥ 120), onde X é o número de alunos que se matriculam, e X segue uma distribuição de Poisson com média λ = 100.

Passo 3

Agora, como a média λ é 100, que é um valor bem grande, podemos usar uma aproximação pela distribuição normal para facilitar nossos cálculos. Isso porque, quando a média da Poisson é grande, a distribuição se aproxima de uma distribuição normal com média igual a λ e desvio padrão igual à raiz quadrada de λ.
Então, temos:
  • Média (μ) = 100
  • Desvio padrão (σ) = √100 = 10

Passo 4

Vamos calcular o escore z, que nos ajuda a encontrar a posição do valor 120 dentro dessa distribuição normal. A fórmula do z é:
z = X - musigma
Substituindo os valores:
z = 120 - 10010 = 2010 = 2
Agora, queremos encontrar a probabilidade de z ser maior ou igual a 2. Olhando em uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, sabemos que P(Z ≥ 2) ≈ 0,0228, ou seja, aproximadamente 2,28%.

Resposta

A probabilidade aproximada de o professor ter que dar aulas para duas turmas é de 2,3%.

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